CSP历年复赛题-P8814 [CSP-J 2022] 解密

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P8814

题意解读：根据公式计算p，q的值。

解题思路：

已知

1、n = pq

2、ed = (p-1)(q-1) + 1   =>   ed = pq - p - q + 2 

由1、2左右相减可得到：

n - ed = p + q - 2 =>  p + q = n - ed + 2 = m

所以有：p + q = m，pq = n，m<=10^9，n<=10^18

方法一：暴力枚举

枚举p，q，范围都是1~m，大概能得40分

方法二：解方程

p + q = m，pq = n

q = m - p，p(m-p) = n, p^2 - mp + n = 0

根据一元二次方程求根公式ax^2 + bx + c = 0，x = (-b + sqrt(b^2- 4ac)) / 2a 或者 x = (-b - sqrt(b^2- 4ac)) / 2a

p = (m + sqrt(m^2 - 4n)) / 2 或者 p = (m - sqrt(m^2 - 4n)) / 2，由于p<=q，所以p = (m - sqrt(m^2 - 4n)) / 2

剩下的只需要判断m^2 - 4n是否是完全平方数，然后(m - sqrt(m^2 - 4n))能否整除2，再算出p、q的值即可。

方法三：二分答案

根据p + q = m，pq = n，p <= q，可知当p越小，pq就越小，p越大，pq就越大，根据此单调性可以实现二分

可以二分p，范围是1~m/2

计算q = m - p

判断当p * q == n时找到答案

如果p * q < n，我们知道 p+q值固定且p <= q，要让pq更大，必须p更接近q，所以l = mid + 1

如果p * q > n，就要让pq更小，必须p与q相差更大，p就要更小，所以r = mid - 1

注意：全程使用long long更保险

100分代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long k, n, d, e, m;

int main()
{
    cin >> k;
    while(k--)
    {
        cin >> n >> d >> e;
        m = n - e * d + 2;
        long long l = 1, r = m / 2, ans = -1;
        while(l <= r)
        {
            long long p = (l + r) >> 1;
            long long q = m - p;
            if(p * q == n)
            {
                ans = p;
                break;
            } 
            else if(p * q < n) l = p + 1;
            else r = p - 1;
        }
        if(ans == -1) cout << "NO" << endl;
        else cout << ans << " " << m - ans << endl;
    }

    return 0;
}