CSP历年复赛题-P1310 [NOIP2011 普及组] 表达式的值
原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1310
题意解读：+代表按位或运算，*代表按位与运算，给定一个没有填数字的表达式，要求结果为0的数字方案数。
解题思路：
下面一步一步，由浅入深的来解决本题
思路一（20分做法）：
观察得知，20%的数据，只有10个符号，且没有括号，也就是对应数字最多11个，可以考虑DFS枚举所有长度是n+1的01数字组合，然后根据运算符、数字进行表达式计算。
需要注意的点是，对于中序表达式，在求值的时候，需要使用两个栈：运算符栈、操作数栈，主要流程如下：
1、遍历操作符和操作数
2、如果操作符栈为空，则将操作符和对应两个操作数入栈
3、如果操作符栈不为空，且当前操作符优先级不高于栈顶操作符的优先级，则将栈顶操作符和对应的两个操作数弹出进行运算，结果入操作数栈
4、再把当前操作符和下一个操作数分别入栈
5、最后，对栈中剩余的操作符和操作数进行一遍运算
6、结果即操作数栈顶元素
20分代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MOD = 10007;
int n;
string str;
int a[15]; //n+1个0/1数字的组合
int ans = 0;
map<char, int> priority = {{'+', 1} , {'*', 2}};
int eval()
{
stack<char> op; //运算符栈
stack<int> num; //数字栈
for(int i = 0; i < str.size(); i++)
{
if(op.empty()) //运算符栈为空，则将运算符，左右操作数入栈
{
op.push(str[i]);
num.push(a[i]);
num.push(a[i + 1]);
continue;
}
//如果运算符栈不空，且当前运算符优先级不高于栈顶运算符优先级
//则弹出栈顶运算符和相应数字，进行计算，之后再把当前运算符和右操作数入栈
if(op.size() && priority[str[i]] <= priority[op.top()])
{
char c = op.top(); op.pop();
int a = num.top(); num.pop();
int b = num.top(); num.pop();
int res;
if(c == '*') res = a & b;
else res = a | b;
num.push(res);
}
op.push(str[i]);
num.push(a[i + 1]);
}
//最后对栈中剩余运算符和操作数进行计算
while(op.size())
{
char c = op.top(); op.pop();
int a = num.top(); num.pop();
int b = num.top(); num.pop();
int res;
if(c == '*') res = a & b;
else res = a | b;
num.push(res);
}
//最终结果为栈顶数字
return num.top();
}
void dfs(int k)
{
if(k == n + 1) //枚举到一组n + 1个0、1的数的组合
{
if(eval() == 0) ans++; //计算表达式的值
return;
}
a[k] = 0;
dfs(k + 1);
a[k] = 1;
dfs(k + 1);
}
int main()
{
cin >> n >> str;
dfs(0);
cout << ans % MOD;
return 0;
}思路2（50分做法）：
由于前50%的数据长度不超过1000，且没有括号，可以利用组合数的思想：
对于一个+*组成的表达式，要为0，必须+对应的所有操作数都为0
表达式中可能有多个连续的*，形如+*+**+，完整表达式为_+_*_+_*_*_+_
结果为0，则有_ , _*_, _*_*_, _这四个都是0
_，代表一个数，为0的方案数只有1种
_*_，代表两个数做与运算，为0的方案有01,10,00 3种，也就是2个数，其中有可能有1个0,2个0，对应的方案数为C(2,1)+C(2,2) = 3种
_*_*_，代表三个数做与运算，为0的方案有C(3,1)+C(3,2)+C(3,3) = 7种
_，代表一个数，为0的方案只有1种
所以，_+_*_+_*_*_+_表达式为0的方案数为1 * 3 * 7 * 1 = 21种
基于以上分析，只需要找到表达式中的连续的*，每cnt个*，代表有cnt+1个数做与运算，为0的方案是C(cnt+1,1)+C(cnt+1,2)+...+C(cnt+1,cnt+1)
所有连续*的方案数相乘即可。
注意需要对组合数进行预处理。
50分代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MOD = 10007;
int n;
string str;
int ans = 1;
int c[1005][1005];
int main()
{
cin >> n >> str;
//初始化组合数
for(int i = 0; i <= 1000; i++)
{
for(int j = 0; j <= i; j++)
{
if(j == 0) c[i][j] = 1;
else c[i][j] = (c[i-1][j-1] + c[i-1][j]) % MOD;
}
}
int cnt = 0;
for(int i = 0; i < str.size(); i++)
{
if(str[i] == '*') cnt++;
else
{
//处理连续cnt个*
if(cnt > 0)
{
int sum = 0; //cnt个*对应的表达式计算为0的方案数，也就是cnt+1个数有几个1~cnt+1个0的方案数：c(cnt,0)+c(cnt,1)+...+c(cnt,cnt)种
for(int j = 1; j <= cnt + 1; j++)
{
sum += c[cnt+1][j]; sum %= MOD;
}
ans *= sum; ans %= MOD;
cnt = 0;
}
}
}
if(cnt > 0)
{
int sum = 0; //cnt个*对应的表达式计算为0的方案数，也就是cnt+1个数有几个1~cnt+1个0的方案数：c(cnt,0)+c(cnt,1)+...+c(cnt,cnt)种
for(int j = 1; j <= cnt + 1; j++)
{
sum += c[cnt+1][j]; sum %= MOD;
}
ans *= sum; ans %= MOD;
cnt = 0;
}
cout << ans;
return 0;
}思路3（100分做法）：
如果知道了中缀表达式的计算方法，也知道了此题跟组合数的关系，更进一步可以得出：
如果要计算结果是0的方案数
a+b是0的方案数 = a是0的方案数 * b是0的方案数
a*b是0的方案数 = a是0的方案数 * b是0的方案数 + a是0的方案数 * b是1的方案数 + a是1的方案数 * b是0的方案数
因此，我们可以借助表达式求值的代码流程，但实际进行计算是，不是具体计算两个数的+或者*，而是递推的计算
{结果是0的方案数、结果是1的方案数}，
操作数栈存的就是一个结构体
struct node
{
int cnt0; //结果为0的方案数
int cnt1; //结果为1的方案数
};100分代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MOD = 10007;
int n;
string str;
struct node
{
int cnt0; //结果为0的方案数
int cnt1; //结果为1的方案数
};
stack<char> op;
stack<node> num;
map<char, int> priority = {{'+', 1} , {'*', 2}}; //运算符的优先级
void eval()
{
char c = op.top(); op.pop();
node a = num.top(); num.pop();
node b = num.top(); num.pop();
node res;
if(c == '+')
{
//两边都是0，+才是0
res.cnt0 = (a.cnt0 * b.cnt0) % MOD;
//有一边是1，+就是1
res.cnt1 = (a.cnt0 * b.cnt1 + a.cnt1 * b.cnt0 + a.cnt1 * b.cnt1) % MOD;
}
else if(c == '*')
{
//有一边是0，*就是0
res.cnt0 = (a.cnt0 * b.cnt1 + a.cnt1 * b.cnt0 + a.cnt0 * b.cnt0) % MOD;
//两边都是1，*才是1
res.cnt1 = (a.cnt1 * b.cnt1) % MOD;
}
num.push(res);
}
int main()
{
cin >> n >> str;
num.push({1, 1}); //第一个操作数，只有1位，结果为0和为1的方案数都是1
for(int i = 0; i < str.size(); i++)
{
if(str[i] == '(') op.push(str[i]);
else if(str[i] == ')')
{
while(op.top() != '(') eval();
op.pop(); //弹出')'
}
else
{
while(op.size() && op.top() != '(' && priority[str[i]] <= priority[op.top()])
eval();
op.push(str[i]); //存入当前运算符
num.push({1, 1}); //存入右操作数
}
}
while(op.size()) eval(); //处理栈中剩余操作符
cout << num.top().cnt0; //数据栈的结果0的方案数即答案
return 0;
}
