CSP历年复赛题-P1045 [NOIP2003 普及组] 麦森数

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1045

题意解读：

要计算2^p- 1的位数和最后500位，实际上只需要计算2^p，两者位数一致，前者比后者个位减1即可，且个位肯定不会是0，比较容易处理。

解题思路：

一、朴素做法

如果直接采用高精度乘法计算2^p，p最大3.1*10⁶, 高精度所用数组最长大概9*10⁵，一共最多计算3.1*10⁶*9*10⁵，超时，需要考虑优化。

1、对于位数的计算

我们知道，一个十进制数的位数很好计算，假设一个十进制数为10^k，则位数为k+1；

那么，如果2^p能转化为10^k形式，问题就得以解决；

因为2 = 10^log₁₀2，所以2^p = (10^log₁₀2)^p = 10^{log₁₀2 * p}

进而可得到位数：log₁₀2 * p + 1，取整。

log10()为系统函数。

2、对于后500位的计算

由于数据位数可高达9*10⁵位，如果保存完整的数据进行高精度乘法，势必超时

但题目要求只取后500位，相当于结果取模10⁵⁰⁰

因此，乘法结果取模，相当于对乘法的每个因子取模后再相乘

这样，在高精度乘法的时候，每次只用保留最低500位即可，其余高位的数据可以舍弃不必计算

另外，如果每次都乘以2，一共最大要乘3.1*10⁶次，每次高精度取500位，最大复杂度大概3.1*10⁶*500，同样会超时

而如果每次都乘以2³⁰，则最多乘的次数大概100000次，每次高精度取500为，复杂度估算在5 * 10⁷

所以，需要先设n = p / 30，则有n个2³⁰相乘，再看m = p % 30，结果还要乘上2^m

为了减少计算时间，可以提前预处理出2¹、2²、2³...2³⁰的结果

注意为什么不取到2³¹？因为int最大是2³¹-1 

100分代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int pow2[31];

//初始化2的1、2...30次方
void init()
{
    int ans = 1;
    for(int i = 1; i <= 30; i++)
    {
        ans *= 2;
        pow2[i] = ans;
    }
}

//高精度*低精度，每次只取前500位，即模10^500，起到优化时间复杂度的效果
vector<int> mul(vector<int> &a, int b)
{
    vector<int> result;
    long long t = 0;
    for(int i = 0; i < a.size() && result.size() < 500; i++)
    {
        t += (long long)a[i] * b;
        result.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    while(t && result.size() < 500)
    {
        result.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    return result;
}

int main()
{
    init();
    int p;
    cin >> p;

    cout << (int)(log10(2) * p + 1) << endl; 

    int n = p / 30; //p有多少个30，要计算n次2^30相乘
    int m = p % 30; //如果m不为0，计算n次2^30相乘后，再乘以2^m

    vector<int> ans(1, 1);
    for(int i = 1; i <= n; i++) ans = mul(ans, pow2[30]); //计算n次2^30相乘
    ans = mul(ans, pow2[m]); //再乘以2^m

    ans[0] -= 1; //个位减1

    while(ans.size() < 500) ans.push_back(0); //不足500位，高位补0

    for(int i = ans.size() - 1, j = 1; i >= 0; i--, j++)
    {
        cout << ans[i];
        if(j % 50 == 0) cout << endl;
    }

    return 0;
}

二、快速幂

如果了解快速幂，可以很容易解决时间复杂度的问题，只需要在快速幂中进行高精度 * 高精度即可，具体请参考代码

100分代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int p;

//高精度*高精度，取前500位
vector<int> mul(vector<int> &a, vector<int> &b)
{
    vector<int> res(501, 0);
    for(int i = 0; i < a.size(); i++)
    {
        for(int j = 0; j < b.size(); j++)
        {
            if(i + j > 500) break;
            res[i + j] += a[i] * b[j];
            res[i + j + 1] += res[i + j] / 10;
            res[i + j] %= 10;
        }
    }
    return res;
}

int main()
{
    cin >> p;
    int ans1 = log10(2) * p + 1;
    cout << ans1 << endl;

    vector<int> a(1, 2);
    vector<int> ans2(1, 1);
    //快速幂计算a^p%500
    while(p)
    {
        if(p & 1) ans2 = mul(ans2, a);
        a = mul(a, a);
        p = p >> 1;
    }

    ans2[0] -= 1; //个位减1

    for(int i = 499, j = 1; i >= 0; i--, j++)
    {
        cout << ans2[i];
        if(j % 50 == 0) cout << endl;
    }

}