洛谷题单指南-动态规划3-P1063 [NOIP2006 提高组] 能量项链

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1063

题意解读：本质上是一个环形石子合并问题，计算合并产生的最大能量。

解题思路：

对于环形DP问题，可以把环拆开，并复制2倍长度，然后用1~n的区间长度去枚举

1、状态表示

设struct node {int head, tail}用于表示每一个项链节点，其中有头、尾标记值，

node s[2 * N]表示复制2倍长度的项链，

dp[i][j]表示将i ~ j的珠子合并释放的最大能量。

2、状态转移

对于i ~ j范围内每一个分界点k，有

dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j] + s[i].head * s[k].tail * s[j].tail)

说明：将i~j合并的能量等于将i~k合并的能量、将k+1~j合并的能量，将i~k与k+1~j整体合并的能量这三者之和，并取最大值。

3、初始化

对于dp[i][i] = 0，即一个节点不需要合并，无能量。

4、结果

所有dp[i][i+n-1]的最大值。

100分代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 105;
struct node
{
    int head, tail; //珠子的头、尾
};
int n;
int a[N]; //原始数据
node s[2 * N]; //珠子数量扩大2倍，环形dp转换为普通区间dp
int dp[2 * N][2 * N]; //dp[i][j]表示将i ~ j的珠子合并释放的最大能量
int ans;

int main()
{
    //处理输入
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if(i < n) s[i] = {a[i], a[i + 1]};
        if(i == n) s[i] = {a[i], a[1]};
        s[i + n] = s[i];
    }

    //状态转移
    for(int len = 2; len <= n; len++) //枚举区间长度2~n,长度为1的dp[i][i]默认为0
    {
         for(int i = 1; i + len - 1 <= 2 * n; i++) //枚举左端点1~n
         {
            int j = i + len - 1; //计算右端点
            for(int k = i; k < j; k++) //枚举分界点k
            {
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j] + s[i].head * s[k].tail * s[j].tail);
            }
         }
    }
   
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        ans = max(ans, dp[i][i+n-1]);
    cout << ans;

    return 0;
}