洛谷题单指南-动态规划2-P1854 花店橱窗布置
原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1854
题意解读：F束花依次放入V个花瓶，每个花瓶最多一朵，且花的顺序在花瓶中递增，计算最大的美学值，并且输出每朵花具体放置方案。
解题思路：
首先想到的的DFS法，对于每一朵花，枚举所有的摆放方案，累加美学值，并记录放置位置，完成一种方案就记录最大美学值和对应的摆放位置。
尽管知道会超时，先拿到部分分再说！
19分代码-DFS：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 105;
int f, v;
int a[N][N];
int b[N]; //一个方案
int maxx = -2e9, ans[N]; //最大美学值，ans是最大美学值情况下每一朵花的方案
//考察第x朵花，前x-1朵花的美学值之和为sum
void dfs(int x, int sum)
{
if(x > f)
{
if(sum > maxx)
{
maxx = sum;
for(int i = 1; i <= f; i++) ans[i] = b[i]; //将b的方案拷贝到ans
}
return;
}
for(int i = b[x-1] + 1; i <= v; i++) //枚举第x朵花可以放置的花瓶，从第x-1朵花放置的花瓶数+1开始
{
b[x] = i; //把第x朵花放入i花瓶
dfs(x + 1, sum + a[x][i]);
b[x] = 0; //回溯
}
}
int main()
{
cin >> f >> v;
for(int i = 1; i <= f; i++)
for(int j = 1; j <= v; j++)
cin >> a[i][j];
dfs(1, 0);
cout << maxx << endl;
for(int i = 1; i <= f; i++) cout << ans[i] << " ";
return 0;
}如何对DFS代码进行优化，想到了记忆化搜索+剪枝，这里有一个特点：
对于每一朵花，枚举放置的位置一定是越来越靠后，而每朵花前面放置时的美学值如果比后面放置时的美学值大，那么后面的dfs可以提前结束，
因为再考察下去也无法得到最大美学值。
因此，可以记录mem[第x朵花][第x-1朵花的花瓶] = 考察第x朵花且已知第x-1朵花放置的花瓶时的美学值之和
100分代码-DFS+记忆化+剪枝：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 105;
int f, v;
int a[N][N];
int b[N]; //一个方案
int mem[N][N]; //mem[i][j]记录第i朵花，第i-1朵花放置的花瓶是j时的美学值之和
int maxx = -0x3f3f3f3f, ans[N]; //最大美学值，ans是最大美学值情况下每一朵花的方案
//考察第x朵花，前x-1朵花的美学值之和为sum
void dfs(int x, int sum)
{
if(sum <= mem[x][b[x-1]]) return; //如果当前sum比之前记录的要小或相等，不用继续dfs，提前结束
mem[x][b[x-1]] = sum; //记录第x朵花 第x-1花放置的花瓶位置 对应的美学值之和
if(x > f)
{
if(sum > maxx)
{
maxx = sum;
for(int i = 1; i <= f; i++) ans[i] = b[i]; //将b的方案拷贝到ans
}
return;
}
for(int i = b[x-1] + 1; i <= v; i++) //枚举第x朵花可以放置的花瓶，从第x-1朵花放置的花瓶数+1开始
{
b[x] = i; //把第x朵花放入i花瓶
dfs(x + 1, sum + a[x][i]);
b[x] = 0; //回溯
}
}
int main()
{
cin >> f >> v;
for(int i = 1; i <= f; i++)
for(int j = 1; j <= v; j++)
cin >> a[i][j];
memset(mem, -0x3f, sizeof(mem));
dfs(1, 0);
cout << maxx << endl;
for(int i = 1; i <= f; i++) cout << ans[i] << " ";
return 0;
}本题正解应该是动态规划，
设dp[i][j]表示前i朵花放入前j个花瓶的最大美学值, a[i][j]是第i朵花放入j号花瓶的美学值
当i放入j：dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + a[i][j]
当i不放入j：dp[i][j] = dp[i-1][j]
因此：dp[i][j] = max(dp[]i-1[j], dp[i-1][j-1] + a[i][j])
初始化：
由于有负数，dp初始化为负无穷，memset(dp, -0x3f, sizeof(dp))；且dp[0][j] = 0，前0朵花的美学值是0。
结果：dp[f][v]
记录具体方案:
用 struct node {
vector<int> a;
} ans[i][j] 记录前i朵花放入前j个花瓶得到最大美学值时的放置方案，
将转移方程dp[i][j] = max(dp[i][j-1], dp[i-1][j-1] + a[i][j])拆分为if...else...来分情况处理，记录放置方案的更新和转移，具体参考代码：
100分代码-动态规划：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 105;
int f, v;
int a[N][N];
int dp[N][N]; //dp[i][j]表示前i朵花放入前j个花瓶的最大美学值
struct node
{
vector<int> a;
} ans[N][N]; //ans[i][j]记录前i朵花放入前j个花瓶得到最大美学值时的放置方案
int main()
{
cin >> f >> v;
for(int i = 1; i <= f; i++)
for(int j = 1; j <= v; j++)
cin >> a[i][j];
memset(dp, -0x3f, sizeof(dp)); //初始化
for(int j = 0; j <= v; j++) dp[0][j] = 0; //0朵花放j个花瓶的美学值是0
for(int i = 1; i <= f; i++)
{
for(int j = i; j <= v; j++) //花瓶号不可能小于花的编号
{
if(dp[i-1][j-1] + a[i][j] > dp[i][j-1]) //第i朵花放第j个花瓶
{
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + a[i][j];
//把i-1,j-1的方案拷贝到i,j的方案
for(int v : ans[i-1][j-1].a)
{
ans[i][j].a.push_back(v);
}
//i，j的方案再加上i放入第j个花瓶
ans[i][j].a.push_back(j);
}
else //第i朵花不放第j个花瓶
{
dp[i][j] = dp[i][j-1];
//把i,j-1的方案拷贝到i,j的方案
for(int v : ans[i][j-1].a)
{
ans[i][j].a.push_back(v);
}
}
}
}
cout << dp[f][v] << endl;
for(int v : ans[f][v].a) cout << v << " ";
return 0;
}
