洛谷题单指南-动态规划1-P3842 [TJOI2007] 线段

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P3842

题意解读：计算1-n的最短路，且每行要覆盖线段。

解题思路：

既然要每行覆盖线段，那往下一行走时，必然是从线段的端点往下，有可能是从左端点往下，也有可能是从右端点往下。

当已知第i行，从1走到第i行的左端点且要覆盖第i行线段的路程可以计算，从1走到第i行右端点且要覆盖第i行线段的路程也可以计算，

所以每走到一行的左、右端点的最短路程可以通过递推形式解决，而两种状态可以用两个数组定义递推式。

设l[],r[]表示每行的左、右端点

设f[i]表示从1走到第i行左端点且覆盖了第i行线段的最短路程, g[i]表示从1走到第i行右端点且覆盖了第i行线段的最短路程

1、f[i]可以从第i-1行左端点走过来

f[i] = f[i-1] + abs(l[i-1]-r[i]) + r[i] - l[i] + 1

说明：

走到i-1左端点的最短路程f[i-1]；

先从第i-1行左端点，往下一步走到第i行，此时位置在l[i-1]，路程+1；

由于要覆盖第i行的线段，先从第i行l[i-1]走到第i行右端点r[i]，路程abs(l[i-1]-r[i])；

再从第i行右端点走到第i行左端点，路程r[i] - l[i]；

全部加起来，即得f[i] = f[i-1] + abs(l[i-1]-r[i]) + r[i] - l[i] + 1。

2、f[i]可以从第i-1行走端点走过来

f[i] = g[i-1] + abs(r[i-1]-r[i]) + r[i] - l[i] + 1

分析过程同上，略。

所以：f[i] =min(f[i-1] +abs(l[i-1]-r[i]) +r[i] -l[i] +1, g[i-1] +abs(r[i-1]-r[i]) +r[i] -l[i] +1)。

同理：

3、g[i]可以从第i-1行左端点走过来

g[i] = f[i-1] +abs(l[i-1]-l[i]) +r[i] -l[i] +1

4、g[i]可以从第i-1行右端点走过来

g[i] = g[i-1] +abs(r[i-1]-l[i]) +r[i] -l[i] +1

所以：g[i] = min(f[i-1] +abs(l[i-1]-l[i]) +r[i] -l[i] +1, g[i-1] +abs(r[i-1]-l[i]) +r[i] -l[i] +1)。

初始值：

从1走到第1行左端点且覆盖第1行线段的最短路程：f[1] =r[1] -1+r[1] -l[1]

从1走到第1行右端点且覆盖第1行线段的最短路程：g[1] =r[1] -1

100分代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 20005;
int n;
int l[N], r[N]; //l:左端点，r：右端点
int f[N], g[N]; //f[i]:从1走到第i行左端点且覆盖第i行线段的最短路程，g[i]:从1走到第i行右端点且覆盖第i行线段的最短路程

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> l[i] >> r[i];
    f[1] = r[1] - 1 + r[1] - l[1];
    g[1] = r[1] - 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        f[i] = min(f[i-1] + abs(l[i-1]-r[i]) + r[i] - l[i] + 1, g[i-1] + abs(r[i-1]-r[i]) + r[i] - l[i] + 1);
        g[i] = min(f[i-1] + abs(l[i-1]-l[i]) + r[i] - l[i] + 1, g[i-1] + abs(r[i-1]-l[i]) + r[i] - l[i] + 1);
    }
    cout << min(f[n] + n - l[n], g[n] + n - r[n]);
    return 0;
}