洛谷题单指南-数学基础问题-P1403 [AHOI2005] 约数研究

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1403

题意解读：计算1~n每个数的约数个数之和。

解题思路：

1、数学方法

1~n的约数范围也在1~n，要计算每个数的约数个数之和

可以从约数出发，

比如约数是x，那么在1~n中一共有n/x个数包含x这个约数

x从1一直枚举到n，就可以得出每个约数是多少个数的约数

求和即可

100分代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;
long long ans;

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++) ans += n / i;
    cout << ans;
    return 0;
}

2、埃氏筛法

数学的方法不太好想！

我们知道：

对于一个数x，分解质因数为x=p1^a1*p2^a2*...*pn^an，则x的约数个数f(x) = (1+a1)*(1+a2)*...*(1+an)

可以用组合数来解释，每个质因数的指数可以取0~ai，也就是1+ai种，乘法原理就可以得到约数的个数。

而埃氏筛法，会用每一个素数去筛包含其为素因子的合数，

这样就可以在埃氏筛的过程中，当用素数i乘以倍数之后得j，在标记j为合数的的同时

也可以计算j一共包含多少个i因子（设为cnt个），然后在f[j]上乘以(1+cnt)，就得到素因子i对f[j]的贡献

最后把f[1]~f[n]加起来即可

100分代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e6 + 5;
int n;
int f[N], g[N];
bool flag[N];
long long ans;

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++) g[i] = i, f[i] = 1; 
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if(!flag[i])
        {
            f[i] = 2; //素数的约数个数是2
            for(int j = i + i; j <= n; j += i)
            {
                flag[j] = true;
                int cnt = 0;
                while(g[j] % i == 0) cnt++, g[j] /= i; //统计g[j]有多少个i素因子
                f[j] = f[j] * (1 + cnt);
            }
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) ans += f[i];
    cout << ans;
    return 0;
}