洛谷题单指南-数学基础问题-P3601 签到题

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P3601

题意解读：求l~r范围内所有$\mathrm{qiandao}(x)$ 之和，$\mathrm{qiandao}(x)$为小于等于$x$的数中，与$x$不互质的数的个数。注意取模。

解题思路：

欧拉函数定义：phi(x) = x * (1-1/p1) * (1-1/p2) *...* (1-1/pn)，p1,p2...pn为x的所有质因子

其中：phi(x)表示1~x中所有与x互质的数的个数

$因此：q\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{o}(x)\; =\; x\; -\; phi(x)$

对于l,r≤10⁷的情况，可以用线性筛的方式，边筛素数，边通过递推计算phi，能得到60分。

对于l≤r≤10¹²的情况，

1、先把sqrt(r)范围内所有素数筛出来（因为r范围内所有的素因子只可能有一个大于sqrt(r)或者没有，其余都小于sqrt(r)，筛出小的素因子，单独处理大的素因子）

2、在对每一个素数p，枚举l ~ r内是p的倍数的数j

3、phi[j]乘上素数p对phi[j]的贡献，即(1-1/p) = (p-1)/p

4、用一个数组pb[]存储所有l~r之间的数x可能超过sqrt(x)的素因子

5、在计算p对phi[j]的贡献的同时，将pb[j]的所有p因子除尽，剩下的要么是1，要么就是大于sqrt(j)的素因子

6、最后处理pb中素因子对phi的影响

7、计算答案

100分代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e6 + 5;

typedef long long LL;
const LL MOD = 666623333;
LL l, r;
LL primes[N], cnt, flag[N];
LL phi[N], pb[N]; //phi[x]表示φ(x)欧拉函数的值，pb[i]表示i的大于sqrt(i)的那一个质因数
LL ans;

//埃氏筛，筛1~10^6范围内所有素数
void getprimes()
{
    for(LL i = 2; i <= 1000000; i++)
    {
        if(!flag[i]) 
        {
            primes[++cnt] = i;
            for(LL j = i + i; j <= 1000000; j += i)
            {
                flag[j] = true;
            }
        }
    }
}

int main()
{
    cin >> l >> r;

    //筛1~sqrt(r)范围内所有素数
    getprimes();

    //初始化phi，pb
    for(LL i = l; i <= r; i++)
    {
        phi[i - l] = i;
        pb[i - l] = i;
    }

    //计算phi，pb
    for(LL i = 1; i <= cnt && primes[i] * primes[i] <= r; i++)
    {   
        LL p = primes[i];
        LL start = l / p;
        if(l % p != 0) start++;
        for(LL j = start * p; j <= r; j += p) // j是l~r范围内p的倍数
        {
            phi[j - l] = phi[j - l] / p * (p - 1); //计算素数p对phi[j]的贡献
            while(pb[j - l] % p == 0) pb[j - l] /= p; //将pb[j]去掉所有p素因子
        }
    }

    for(LL i = l; i <= r; i++)
    {
        if(pb[i - l] != 1) 
        {
            phi[i - l] = phi[i - l] / pb[i - l] * (pb[i - l] - 1);
        }
        ans = (ans + (i - phi[i - l])) % MOD;
    }
    cout << ans;
    return 0;
}