洛谷题单指南-数学基础问题-P1072 [NOIP2009 提高组] Hankson 的趣味题

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1072

题意解读：求有多少个x，满足$x$和a0​ 的最大公约数是a1​，x和b0​的最小公倍数是b1，多组数据。

解题思路：

枚举法：

因为$x$和a0​ 的最大公约数是a1​，$x$和b0​的最小公倍数是b1，所以x不大于b1​。

枚举x有两种思路：

1、x是a1的倍数，最多需要枚举b1/a1次，如果a1=1，最多b1次，10^9规模，有2000组数据，超时。

2、x是b1的因数，最多需要枚举sqrt(b1)次，也就是x * x <= b1即可，10^4规模，2000组数据，可行。

因此，可以枚举b1的因数，每次枚举可以得到两个因数：x、b1/x，进行判断即可。

100分代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long n, a0, a1, b0, b1;

long long gcd(long long a, long long b)
{
    if(b == 0) return a;
    return gcd(b, a % b);
}

int main()
{
    cin >> n;
    while(n--)
    {
        int ans = 0;
        cin >> a0 >> a1 >> b0 >> b1;
        for(long long x = 1; x * x <= b1; x++) //枚举b1的所有因子，每次可以考察i、b1/i两个，循环次数sqrt(b1)
        {
            if(b1 % x == 0)
            {
                if(gcd(x, a0) == a1 && x * b0 == gcd(x, b0) * b1)
                {
                    ans++;
                }
                long long y = b1 / x;
                if(x == y) continue;
                if(gcd(y, a0) == a1 && y * b0 == gcd(y, b0) * b1)
                {
                    ans++;
                }
            }
        }
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}

注意gcd()的判断前提是x是b1的因子，实际的因子数2*10^9也只有110个，所以gcd的调用复杂度可以忽略，总体复杂度就是10^7规模。