洛谷题单指南-贪心-P1080 [NOIP2012 提高组] 国王游戏
原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1080
题意解读：通过不同的排队方式，让获得最多奖赏的大臣金额尽可能的少。此题如果没有思路，用全排列枚举可以“骗”分，更好的做法直觉上是某种贪心策略，另外基于数据规模考虑，要拿满分，需要上高精度。下面就由浅入深一步一步的解决。
解题思路：
1、枚举排列
观察数据，前20%的数据量级在10以内，如果用全排列暴力枚举，复杂度在10!*10*10以内，能得多少分就听天由命。
全排列可以借助next_permuation函数，也可以自行dfs
20分代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
pair<int, int> a[1005];
long long ans = LLONG_MAX;
int main()
{
cin >> n;
for(int i = 0; i <= n; i++) cin >> a[i].first >> a[i].second;
vector<int> v;
for(int i = 1; i <= n; i++) v.push_back(i); //初始排列
do
{
long long t = a[0].first; //初始乘积是国王左手数字
long long maxx = 0;
for(auto i : v)
{
maxx = max(maxx, t / a[i].second); //计算每一个人获得的奖励
t = t * a[i].first; //乘积乘上当前左手的数，便于计算下一个人的奖励
}
ans = min(ans, maxx);
} while(next_permutation(v.begin(), v.end()));
cout << ans;
return 0;
}2、贪心策略-1
由于要得到获得最大金币数的人，
而对于每一个人，要想获得最大金币数，必须排在最后一个位置
证明：对于一个人左手a、右手b，排在前面的所有人左手乘积是t，其获得的金币数为t / b
要使得金币数越大，t自然是越大越好，排名越靠后，t越大
因此，对于每一个人， 其能获得的最大金币数为 T / (a * b)，T表示所有人左手数字乘积
那么只需要找到能获得的最大金币数中最小值即可
50分代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
pair<int, int> a[1005];
long long ans = LLONG_MAX;
long long t = 1;
int main()
{
cin >> n;
for(int i = 0; i <= n; i++)
{
cin >> a[i].first >> a[i].second;
t *= a[i].first;
}
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
long long res = t / (a[i].first * a[i].second);
if(res > 0) ans = min(ans, res); //res>0是因为如果大臣最多获得金币是0，不参与比较
}
cout << ans;
return 0;
}接下来的问题，就是要把计算乘法、除法的地方替换成高精度，主要会用到高精度*低精度，高精度➗低精度
在“模拟与高精度”模块中已多次介绍，不再具体讲述其实现原理。
90分代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
pair<int, int> a[1005];
vector<int> ans(4005, 9); //1≤n≤1,000,0<a,b<10000, 所有a乘积长度在4000左右，定义一个最大值
vector<int> t(1, 1); //所有左手数的乘积
vector<int> mul(vector<int> &a, int b)
{
vector<int> res;
int t = 0;
for(int i = 0; i < a.size(); i++)
{
t += a[i] * b;
res.push_back(t % 10);
t /= 10;
}
while(t)
{
res.push_back(t % 10);
t /= 10;
}
return res;
}
vector<int> div(vector<int> &a, int b)
{
vector<int> res;
int r = 0;
for(int i = a.size() - 1; i >= 0; i--)
{
r = 10 * r + a[i];
if(r >= b)
{
res.push_back(r / b);
r %= b;
}
else res.push_back(0);
}
//将res翻转过来，统一低位在前的方式
vector<int> res2;
for(int i = res.size() - 1; i >= 0; i--)
{
res2.push_back(res[i]);
}
//去除前导0
while(res2.back() == 0 && res2.size() > 1) res2.pop_back();
return res2;
}
//a > b返回正数，a = b返回0， a < b返回负数
int compare(vector<int> &a, vector<int> &b)
{
if(a.size() != b.size()) return a.size() - b.size();
else
{
for(int i = a.size() - 1; i >= 0; i--)
{
if(a[i] != b[i]) return a[i] - b[i];
}
return 0;
}
}
int main()
{
cin >> n;
for(int i = 0; i <= n; i++)
{
cin >> a[i].first >> a[i].second;
t = mul(t, a[i].first);
}
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
vector<int> res = div(t, a[i].first * a[i].second);
if(compare(ans, res) > 0) ans = res;
}
for(int i = ans.size() - 1; i >= 0; i--) cout << ans[i];
return 0;
}3、贪心策略-2
以上方法为什么只能得到90分？
原因在于此方法无法处理左手数全是1的情况，这样每个人排最后不一定代表这种排序方式的最大值，因为有可能右手数大于1，这样获得金币为0
前面如果有一个右手数是1的，获得金币为1，这才是最大值。
举例：
2
1 100
1 1
1 2 在以上策略下输出是0，真实结果应该是1。
换一种思路，设第i、j两个人，i、j相邻，i左手a[i].l、右手a[i].r，j左手a[j].l、右手a[j].r
如果i在j前面，对最终答案的影响值是a[i].l / a[j].r
如果j在i前面，对最终答案的影响值是a[j].l / a[i].r
要保持i在j前面，必须a[i].l / a[j].r < a[j].l / a[i].r
有a[i].l * a[i].r < a[j].l * a[j].r
因此得知，一个人排在前面，必须左右手乘积更小，这样答案才会更小。
所以，只需要对每个大臣按左右手乘积从小到大排序，再计算最大的金币即可。
100分代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct p
{
int l ,r;
} a[1005];
bool cmp(p p1, p p2)
{
return p1.l * p1.r < p2.l * p2.r;
}
int n;
vector<int> ans(1, 0);
vector<int> t(1, 1);
vector<int> mul(vector<int> &a, int b)
{
vector<int> res;
int t = 0;
for(int i = 0; i < a.size(); i++)
{
t += a[i] * b;
res.push_back(t % 10);
t /= 10;
}
while(t)
{
res.push_back(t % 10);
t /= 10;
}
return res;
}
vector<int> div(vector<int> &a, int b)
{
vector<int> res;
int r = 0;
for(int i = a.size() - 1; i >= 0; i--)
{
r = 10 * r + a[i];
if(r >= b)
{
res.push_back(r / b);
r %= b;
}
else res.push_back(0);
}
//将res翻转过来，统一低位在前的方式
vector<int> res2;
for(int i = res.size() - 1; i >= 0; i--)
{
res2.push_back(res[i]);
}
//去除前导0
while(res2.back() == 0 && res2.size() > 1) res2.pop_back();
return res2;
}
//a > b返回正数，a = b返回0， a < b返回负数
int compare(vector<int> &a, vector<int> &b)
{
if(a.size() != b.size()) return a.size() - b.size();
else
{
for(int i = a.size() - 1; i >= 0; i--)
{
if(a[i] != b[i]) return a[i] - b[i];
}
return 0;
}
}
int main()
{
cin >> n;
for(int i = 0; i <= n; i++)
{
cin >> a[i].l >> a[i].r;
}
sort(a + 1, a + n + 1, cmp);
t = mul(t, a[0].l); //国王的左手值
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
vector<int> res = div(t, a[i].r); //计算当前人活得的金额
if(compare(ans, res) < 0) ans = res; //更新最大值
t = mul(t, a[i].l); //t乘以当前人左手数，便于计算下一个
}
for(int i = ans.size() - 1; i >= 0; i--) cout << ans[i];
return 0;
}
