洛谷题单指南-递推与递归-P1255 数楼梯

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1255

题意解读：n层楼梯，每次上1层或2层，求方案数，典型的斐波那契数列问题。

解题思路：

设f[i]为走到第i层楼的方案，由于每次只能上1层，或者2层，所以要么从i-1层上到i层，要么从i-2层上到i层，

根据加法原理，得到递推公式：f[i] = f[i-1] + f[i-2]

由于楼梯数最大5000，斐波那契数列的复杂度类似于指数级，可以预估5000级楼梯的大致方案数：2⁵⁰⁰⁰≈（2¹⁰）⁵⁰⁰≈（10³）⁵⁰⁰≈10¹⁵⁰⁰

数据长度在1500，需要使用高精度计算，通过二维数组可以很好的解决数据存储问题，每一行对应斐波那契数列的一个数。

100分代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 5005, M = 2000;

int f[N][M]; //每行存一个高精度整数,每行第一个数代表这一行数的长度
int n;

int main()
{
    cin >> n;

    f[0][0] = 1, f[0][1] = 1; //初始化第一行
    f[1][0] = 1, f[1][1] = 1; //初始化第二行

    if(n == 1) cout << f[1][1];
    else
    {
        for(int i = 2; i <= n; i++)
        {
            //高精度加法
            for(int j = 1; j <= max(f[i - 1][0], f[i - 2][0]); j++)
            {
                f[i][j] += f[i - 1][j] + f[i - 2][j];
                f[i][j + 1] += f[i][j] / 10; 
                f[i][j] = f[i][j] % 10;

                f[i][0] = j;  //更新长度
                if(f[i][j + 1]) f[i][0] = j + 1; //如果有进位，再次更新长度
            }
        }

        for(int i = f[n][0]; i >= 1; i--) cout << f[n][i];
    }

    return 0;
}