洛谷题单指南-模拟和高精度-P1249 最大乘积

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1249

题意解读：

题目分两步，第一步是将整数拆分成不同自然数的和，第二步通过高精度计算这些因数的乘积，要使乘积最大，需要某种贪心思想。

解题思路：

如何保证整数拆分后因子的乘积最大呢，有几个原则：

1、最好不要包括因子1，但3、4除外，需要进行特殊处理

2、从2开始，连续拆分整数，依次拆分出2、3、4......直到和大于给定整数n

3、这时之前已经拆分出的数为a1、a2......ax，a1+a2+...+ax <= n

4、这时还剩余 r = n - (a1+a2+...+ax) 未分配

5、可以证明，将r平均的分配给a1、a2......ax，会使得乘积最大，因此依次给各个数加1，r减1，直到r为0

6、由于a1、a2......ax是递增的，不能从头开始分，可能会导致重复，因此从后开始分，可以使结果最大

举例：

n = 8，依次拆分2、3，

到4时2+3+4>8，4不能分，

剩余8 -(2+3)= 3，

给3加1得4，给2加1得3，现在拆分得到3、4，

还剩1，分给4，得到3、5。

如何存储拆分出来的因子，还能保证顺序呢？借助于桶数组可以很容易解决。

因子拆分出来之后，再进行高精度*低精度计算乘积即可。

分析完毕。

100分代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 10005;

int n;
int nums[N]; // nums[i] = 1表示i是n的一个因子
int idx; //最大的因子

vector<int> mul(vector<int> &a, int b)
{
    vector<int> result;
    int t = 0;
    for(int i = 0; i < a.size(); i++)
    {
        t += a[i] * b;
        result.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    while(t)
    {
        result.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    return result;
}

int main()
{
    cin >> n;

    if(n == 3 || n == 4)
    {
        cout << 1 << " " << n - 1 << endl;
        cout << 1 * (n - 1);
        return 0;
    }

    int sum = 0;
    for(int i = 2; i < n; i++)
    {
        if(sum + i > n) //如果sum + i超过n
        {
            int r = n - sum; //计算超出的部分,可以分给其他的因子
            while(r) //分配原则是由大到小，每个因子分1，重复进行，直到分完，可以保证乘积最大
            {
                for(int j = idx; j >= 2; j--) 
                {
                    if(nums[j] && r) 
                    {
                        nums[j] = 0, nums[j + 1] = 1; //给i加1的操作
                        if(j == idx) idx++;
                        r--;
                    }
                    else break;
                }
            }
            break;
        }
        sum += i;
        nums[i] = 1;
        idx = i;
    }

    vector<int> res;
    res.push_back(idx);

    for(int i = 2; i < idx; i++)
    {
        if(nums[i]) res = mul(res, i);
    }

    for(int i = 0; i <= idx; i++) 
        if(nums[i]) cout << i << " ";
    cout << endl;
    for(int i = res.size() - 1; i >= 0; i--) 
        cout << res[i];

    return 0;
}