动态规划法（七）鸡蛋掉落问题（二）

  上次我们讲到，我们的主人公丁丁由于用动态规划法解决了鸡蛋掉落问题（egg dropping problem）而获得了当地科学家的赏识。这不，正当丁丁还沉浸在解决问题的喜悦中，科学家又给丁丁出了一个难题：

假设有n个鸡蛋和d次尝试机会，那么，最多能探索多少层楼？

这无疑是鸡蛋问题的翻版，因为这两个问题实在太像了。丁丁没有犹豫，立马按照之前的想法开始思考：

  用$f(d, n)$表示该问题的解。假设从k层楼扔下鸡蛋（k足够大），若鸡蛋碎了，则剩下n-1个鸡蛋，d-1次尝试机会，最多能向下探索$f(d-1, n-1)$层楼；若鸡蛋没碎，则剩下n个鸡蛋，d-1次尝试机会，最多能向上探索$f(d-1, n)$层楼，于是：

$$f(d, n)=1+f(d-1, n-1)+f(d-1,n).$$

令$g(d, n)=f(d, n+1)-f(d,n)$,则：

$${\displaystyle {\begin{aligned} g(d, n)&=f(d, n+1)-f(d,n)\\ &=[1+f(d-1,n)+f(d-1,n+1)]-[1+f(d-1,n-1)+f(d-1,n)]\\ &=[f(d-1, n+1)-f(d-1,n)]+[f(d-1,n)-f(d-1,n-1)]\\ &=g(d-1, n)+g(d-1,n-1)\end{aligned}}}$$

因为$f(0,n)=f(d,0)=0$,对于任意的$n,d$，且$f(d,1)=d$,故$g(0,n)=0, g(d,0)=d.$因为在组合数学中，有：

$$C_n^{k}=C_{n-1}^k+C_{n-1}^{k-1},$$

因此，由数学归纳法可知：$g(d,n)=C_{d}^{n+1}.$当$n+1\geq d$时，$C_{d}^{n+1}=0.$对于$f(d,n)$,有：

$${\displaystyle {\begin{aligned} f(d,n)=&[f(d,n)-f(d,n-1)]\\ +&[f(d,n-1)-f(d,n-2)]\\ +&\cdots \\ +&[f(d,1)-f(d,0)] \\ +&f(d,0). \end{aligned}}}$$

因为$f(d,0)=0$,因此$f(d,n)=\sum\limits_{i=1}^{n}C_{d}^{i}, d\geq 1.$于是，科学家的问题就解决了。
  突然，丁丁又想到了：能不能用这个结果来解决鸡蛋掉落问题呢？答案是肯定的，对于给定的$k=f(d,n)$,只需要对d从1开始算起，得到d,恰好使得$f(d,n)\geq k,$则d即可鸡蛋掉落问题的解。
  科学家看了丁丁的解答，十分满意，他终于下定决心招丁丁为自己的助手。不过，丁丁说，他还要去外面的世界再看看，因此，科学家也没有挽留，但他祝愿丁丁好运。
  本文不再给出相关的程序，读者可以自己实现哦~~
  本文的参考文献为：https://brilliant.org/wiki/egg-dropping/ 。
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