拉格朗日插值多项式的原理介绍及其应用
插值，不论在数学中的数值分析中，还是在我们实际生产生活中，都不难发现它的身影，比如造船业和飞机制造业中的三次样条曲线。那么，什么是插值呢？我们可以先看一下插值的定义，如下：
（定义）如果对于每个\(1 \leq i \leq n,P(x_{i})=y_{i}\),则称函数\(y=P(x)\)插值数据点\((x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})\).
插值的定义无疑是清楚明了的，而在众多的数学函数中，多项式无疑是最简单，最常见的函数，关于它的理论研究也最为透彻。因此，我们可以不妨先考虑利用多项式来进行插值。那么，这样的多项式是否总是存在呢？答案是肯定的，因为我们有如下定理：
（多项式插值定理）令\((x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})\)是平面中的\(n\)个点，各\(x_{i}\)互不相同。则有且仅有一个\(n-1\)次或者更低的多项式\(P\)满足\(P(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n.\)
证明:先用归纳法证明存在性，再证明唯一性。
当\(n=1\)时，常函数(0次)\(P_{1}(x)=y_{1}\)即符合要求。假设当\(n-1\)时存在一个次数\(\leq n-2\)的多项式\(P_{n-1}\),使得\(P_{n-1}(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n-1.\)则令\(P_{n}(x)=P_{n-1}(x)+c(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n-1})(x-x_{n})\)，其中\(c\)为待定系数，利用\(P_{n}(x_{n})=y_{n}\)即可求出待定系数\(c\).此时，\(P_{n}(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n,\)且\(P_{n}(x)\)的次数\(\leq n-1\).这样就证明了存在性。
其次证明唯一性。假设存在两个这样的多项式，设为\(P(x)\)和\(Q(x)\)，它们次数\(\leq n-1\)且都插值经过\(n\)个点，即\(P(x_{i})=Q(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n.\)令\(H(x)=P(x)-Q(x)\),\(H\)的次数也\(\leq n-1\)，且有\(n\)个不同的根\(x_{1},x_{2},...,x_{n}\).因此，由多项式基本定理可知，\(H(x)\)为0多项式，即恒等于0，故有\(P(x)=Q(x)\).这样就证明了存在性。
证毕。
有了以上定理，我们可以放心地使用多项式进行插值，同时，通过上述定理，我们可以用归纳法来构造此多项式，但是，这样的方法难免复杂麻烦。于是，天才的法国数学家拉格朗日（Lagrange）创造性地发明了一种实用的插值多项式方法来解决这个问题，那么，他的方法是怎么样的？
一般来说，如果我们有\(n\)个点\((x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})\)，各\(x_{i}\)互不相同。对于1到n之间的每个\(k\)，定义\(n-1\)次多项式
\(L_{k}(x)\)具有有趣的性质：\(L_{k}(x_{k})=1,L_{k}(x_{j})=0,j\neq k.\)然后定义一个\(n-1\)次多项式
这样的多项式\(P_{n-1}(x)\)满足\(P_{n-1}(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n.\)这就是著名的拉格朗日插值多项式！
以上就是拉格朗日插值多项式的理论介绍部分，接下来我们就要用Python中的Sympy模块来实现拉格朗日插值多项式啦~~
实现拉格朗日插值多项式的Python代码如下：
from sympy import *
def Lagrange_interpolation(keys, values):
x = symbols('x')
t = len(keys)
ploy = []
for i in range(t):
lst = ['((x-'+str(_)+')/('+str(keys[i])+'-'+str(_)+'))' for _ in keys if _ != keys[i]]
item = '*'.join(lst)
ploy.append(str(values[i])+'*'+item)
ploy = '+'.join(ploy)
return factor(expand(ploy))
def main():
#example 1, interpolate a line
x_1 = [1,2]
y_1 = [3,5]
if len(x_1) != len(y_1):
print('The lengths of two list are not equal!')
else:
print('Lagrange_interpolation polynomials is:')
print(Lagrange_interpolation(x_1,y_1))
#example 2, interpolate a parabola
x_2 = [0,2,3]
y_2 = [1,2,4]
if len(x_2) != len(y_2):
print('The lengths of two list are not equal!')
else:
print('Lagrange_interpolation polynomials is:')
print(Lagrange_interpolation(x_2,y_2))
#example 3
x_3 = [0,1,2,3]
y_3 = [2,1,0,-1]
if len(x_3) != len(y_3):
print('The lengths of two list are not equal!')
else:
print('Lagrange_interpolation polynomials is:')
print(Lagrange_interpolation(x_3,y_3))
main()
函数Lagrange_interpolation()具体实现了拉格朗日插值多项式，参数(keys, values)为list形式的点对，在main()函数中举了三个Lagrange_interpolation()函数的应用实例，一个是插值两个点，即直线，一个是插值三个点，即抛物线，一个是插值四个点，但结果却是一次多项式。该程序的运行结果如下：
def Lagrange_interpolation(keys, values):
x = symbols('x')
t = len(keys)
ploy = []
for i in range(t):
lst = ['((x-'+str()+')/('+str(keys[i])+'-'+str()+'))' for _ in keys if _ != keys[i]]
item = ''.join(lst)
ploy.append(str(values[i])+''+item)
ploy = '+'.join(ploy)
return factor(expand(ploy))
def degree_of_sum(k):
x_list, y_list = [], []
degree = k # degree=k in expression of 1k+2k+...+x^{k}
cul_sum = 0
for i in range(1,degree+3):
x_list.append(i)
cul_sum += i**degree
y_list.append(cul_sum)
return Lagrange_interpolation(x_list,y_list)
def main():
r = redis.Redis(host='localhost', port=6379,db=0)
for k in range(1,51):
expression = str(degree_of_sum(k))
r.hset('sum_%s'%k,'degree',str(k))
r.hset('sum_%s'%k,'expression',expression)
print('Degree of %d inserted!'%k)
main()
运行以上程序，结果如下：
<center>
</center>
在Redis中的储存结果如下：
<center>
</center>
我们可以具体查看当$k=2$时的求和公式，如下：
<center>
</center>
  这样我们就介绍完了一个拉格朗日插值多项式的应用了。看了上面的介绍，聪明又机智的你是否能想到更多拉格朗日插值多项式的应用呢？欢迎大家交流哦~~
  新的一年，新的气象，就从这一篇开始~~
