扫描线学习笔记

扫描线学习笔记

前言

之前翻阅网络上的讲解，可能是我太菜了，反正看了几次都没学会，也没敲过，于是这次就认真地学习了一下，发现并不是很难。

引入

给你 \(n\) 个矩形，求这 \(n\) 个矩形的面积并。保证所有的矩形

\(n\leq 10^5,x,y\leq 10^9\)

面积并：平面上所有图形的覆盖面积。

对于这样一道问题，我们如何去求解呢？

熟悉扫描线的同学可能一眼就看出来这就是一道扫描线的板子题，如果我们不去想用扫描线去求，我们怎么做呢？

最暴力的办法就是开个二维数组进行染色，最后扫一遍统计答案。但是我们发现，仅仅 \(x,y\) 就有 \(10^9\) 那么大，就是对于一个矩形也吃不消。

或许有人说用容斥，但是这有 \(10^5\) 个矩形，如果我们对这些进行容斥的话，想想就头大。

于是我们的扫描线就登场了。

定义

扫描线，顾名思义，就是用一根线模拟扫描的过程。

你想从哪里到哪里扫都行，你要你能写对。

最常见的就是从左往右扫，其次是从下往上扫。

加入我们有下面几个矩形：

我们所要求的是这块的面积

我们拿一根线去扫它。

思想

我们发现，扫描线与矩形相交的长度是一直在变动的，碰到一个矩形的左边可能会变长，碰到矩形的右边可能会变短。

我们把每个位置的扫描线赋予一个值 \(cover\) ，表示有多少个矩形覆盖在这个位置上，显然，当我们碰到一个矩形的左边时，这个矩形覆盖的所有位置的 \(cover++\) ，碰到一个矩形的右边时，这个矩形覆盖的所有位置的 \(cover--\) 。将矩形覆盖的所有位置的 \(cover\) 进行改变，很明显是一个区间操作，区间修改，很明显，就是线段树。

对于 \(y\) 轴，我们建立一个线段树来维护这个扫描线，每次碰到矩形的一条边，我们就对线段树进行操作。

但是，

我们发现 \(x,y\le 10^9\) 显然线段树开不了这么大。但我们发现，\(n\le 10^5\)，一个矩形两条边，最多也就 \(2\cdot 10^5\) 个坐标。然后我们离散化就好了。