实变函数笔记(1)——集合与基数
实变函数这门课应该是我这学期最为困难的一门课，因此更需要加把劲去学习。
这门课一开始是从定积分的定义出发的，我们知道求曲边梯形面积一共分为4步：(1)划分区间;(2)对每个小区间$[x_{i-1},x_{i}]$上选定一点$\xi _{i}$计算$f(\xi _{i})$;(3)对每个区间上的小矩形面积求和;(4)令最大的小区间长度趋向于0，如果求和存在极限，那么记为定积分$$\lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n}f(\xi _{i}) \bigtriangleup x_{i} = \int_{a}^{b}f(x)dx，其中\lambda = max(|x_{i}-x_{i-1}|)$$。
接着在数学分析中我们已经知道连续函数必然可积，除此之外，还有什么类型的函数可以求定积分呢？考虑下面的函数$$f(x) = \begin{cases} 0 & x \in Q \\ x & x \not \in Q \\ \end{cases}$$
显然无论$\bigtriangleup x_{i}$多么小均可以找到$\xi _{i} \in Q$或$\xi _{i} \not \in Q$，因此定积分$\int_{a}^{b}f(x)dx$不存在。
基于以上事实，我们需要将现有的黎曼积分推广，之后我们会看到，当对$y$进行划分时，如果$x$轴上的测度存在，那么我们可以定义Lebesgue积分$$(L) \int_{a}^{b}f(x)dx$$
这门课程的一个大目标是证明这个定理：如果函数$f(x)$黎曼可积，那么它必然Lebesgue可积，并且两者相等，反之不然。
为了证明该定理，我们引入了一系列新的概念，比如建立了测度，它是长度、面积和体积的推广。此外还将连续函数推广为可测函数，利用可测集代替开区间，可以断言的是，可测集几乎是开区间，可测函数几乎是连续函数。
让我们从集合开始，它是建立测度的基础。
一、集合的基本运算
集合的基本运算在离散数学课程已经提到过，这里只需要重新回忆起即可。
Def1 (子集、补集、集合的相等)
子集是说对于两个集合$A$和$B$，如果集合$A$的所有元素都是集合$B$的元素，那么称$A$是$B$的子集。
补集是说给定全集$U$及它的某个子集$A$，由所有$x \in U$但$x \not \in A$的元素组成集合称为A的补集，称为$\overline{A}$或者$A^{C}$
集合的相等是指对于两个集合$A$和$B$，如果$A \subset B$且$B \subset A$，那么有$A=B$
对于集合的交集、并集，有如下的公式以及De Morgan法则
Thm2 (集合的交并补公式)
(1) $A \bigcap (B \bigcup C) = (A \bigcap B) \bigcup (A \bigcap C)$
(2) $(A \bigcap B) \bigcup C = (A \bigcup C) \bigcap (B \bigcup C)$
Thm3 (De Morgan法则)设$\{ A_{i} \}$为集合列，那么成立如下并集和交集规律
(1) $(\bigcup _{i=1}^{n} A_{i})^{C} = \bigcap _{i=1}^{n} (A_{i})^{C}$
(2) $(\bigcap _{i=1}^{n} A_{i})^{C} = \bigcup _{i=1}^{n} (A_{i})^{C}$
接下来需要对集合引入极限的概念，我们称之为上极限集和下极限集。
Def4 (上极限集与下极限集)设$\{ A_{n} \}$为一列无穷多个集合
上极限集是指由所有属于无穷多个$A_{k}$的元素组成的集合，记为$\overline{\lim_{k \to \infty}} A_{k}$
下极限集是指属于某一项$A_{k}$以后的所有$A_{k}$的元素组成的集合，记为$\underline{\lim_{k \to \infty}} A_{k}$
写成集合的而形式就是
$$\overline{\lim_{k \to \infty}} A_{k} = \{ \exists 无穷多个k_{j}，使得x \in A_{k_{j}} \}$$
$$\underline{\lim_{k \to \infty}} A_{k} = \{ \exists K，当k > K时，x \in A_{k} \}$$
类似于可积性的内容中达布上和和达布下和一样，可以给出极限集的定义。
Def5 (极限集)当$\overline{\lim_{k \to \infty}} A_{k} = \underline{\lim_{k \to \infty}} A_{k} $时，称集合列$A_{k}$有极限，记为$\lim_{k \to \infty} A_{k}$
有了极限集就可以类比数列定义集合列的单调性。
Def6 (单调上升集合列)若$A_{1} \subset A_{2} \subset A_{3} \subset …… \subset A_{n} \subset A_{n+1} \subset ……$
对于这种单调集合列，也有同样的定理。
Thm7 单调集合列一定有极限集。
下面给出两个上下极限的例子。
Exm1：设$A_{2n-1} = [1,3]$，$A_{2n} = [2,4]$，求这个集合列的上下极限
解：因为$[1,3] \subset \overline{\lim_{n \to \infty}} A_{n}$，$[2,4] \subset \underline{\lim_{n \to \infty}} A_{n}$，于是$\overline{\lim_{n \to \infty}} A_{n} = [1,4]$，$\underline{\lim_{n \to \infty}} A_{n} = [2,3]$
Exm2:设$A_{n} = [0,3+\frac{1}{n}]，求$\overline{\lim_{n \to \infty}} A_{n}$
解：$\overline{\lim_{n \to \infty}} A_{n} = [0,3]$，$\underline{\lim_{n \to \infty}} A_{n} = [0,3]$，所以$\\lim_{n \to \infty} A_{n} = [0,3]$
二、集合的基数
我们知道，对于有限集来说，可以直接进行计数数出集合中元素的个数，但是对于无限集来说就没有办法通过计数的方式确定集合中元素的个数，比如有理数集和整数集哪个元素更多。
为了解决这个问题，离散数学中我们已经引入了对等的概念，这是指两个集合之间存在着一一对应关系。
在有限集中，一个集合永远不可能和它的真子集对等，但在无穷集中，这种事情是可能的。
Thm3：若$A_{1}$与$B_{1}$对等，$A_{2}$与$B_{2}$对等，且$A_{1} \bigcap A_{2} = \varnothing$，$B_{1} \bigcap B_{2} = \varnothing$，那么有$A_{1} \bigcup A_{2}$与$B_{1} \bigcup B_{2}$对等。
下面重点是研究怎么证明两个集合对等，根据定义，我们需要找到联系这两个集合的一个双射，这在通常情况下是非常困难的，幸运的是，Bernstein定理告诉我们，只需要找到两个方向分别的一个单射，那么这两个集合的双射一定存在，从而可以证明集合对等。
Thm4(Bernstein定理)：设$X,Y$是两个不同集合，若集合$X$与$Y$的一个真子集对等，同时$Y$与$X$一个真子集对等，那么$X,Y$对等。
证明过程较长，在此先略过。
下面给出如何利用Bernstein定理解题的例子。
Exm5
(1) 证明[0,1]和(0,1)是对等的。
解：取$f(x)=\frac{1+x}{4}，它是从[0,1]到(0,1)的单射，说明[0,1]与(0,1)中某个真子集对等，取$g(x)=x$，它是从(0,1)到[0,1]的单射，说明(0,1)与[0,1]中某个真子集对等，由Bernstein定理就可以知道[0,1]与(0,1)对等。
(2) 设$A \subset B \subset C$，若$A$与$C$对等，试证明$C$与$B$对等。
解：$A$与$C$对等，由$A \subset B$，说明$C$与$B$的子集对等，接下来还要找一个$C$的子集，使得$B$与这个子集对等，那么显然$B$与自己对等，于是有$B$与$C$对等。
(3) 证明无穷集A一定可以与它的某个真子集对等。
解：由于$A$是无穷集，因此$A \neq \varnothing$，那么就有$\exists x_{1} \in A$，记$A_{1} = A | \{ x_{1} \} $，那么$A_{1}$还是无穷集，$A_{1} \neq \varnothing$，从而$\exists x_{2} \in A_{1}$，记$A_{2} = A | \{ x_{1}，x_{2} \} $。依次类推，这样子我们可以得到一个数列$x_{1},x_{2},x_{3},…,x_{n},…$，由它组成的集合$S$就是$A$的子集，记映射$$f：A \longrightarrow B，f(x) = \begin{cases} x_{n+1} & 当x=x_{n} \\ x & 其它 \end{cases} $$这是一个从$A$到$S$的双射，于是有$A$和$S$对等。
现在，我们记$\overset{=}{A}$为$A$的基数，需要提出的一个问题是，任给两个不同集合，它们的基数有没有大小关系？对此的回答是，在选择公理的条件下，一定会有$\overset{=}{A} \leq \overset{=}{B}$或者$\overset{=}{A} \geq \overset{=}{B}$。进而会思考的一个问题是，对于无穷集，什么是最小的基数？对此，我们引入可列集相关的概念。
Def6 (可列集与可数集)若集合A与自然数集N对等，则称A为可列集，此外将有限集和可列集统称为可数集。我们将可列集的基数记为$\aleph _{0}$
下面给出一些可列集的性质。
Thm7 (可列集的性质)
(1) 设$A$为无穷集，那么有$\overset{=}{A} \geq \aleph_{0}$
(2) 可列集的无穷子集也一定是可列集
(3) 两个可列集的并是可列集，进一步地，可列个可列集的并集也是可列集。
(4) 设$A$和$B$都是可列集，那么$A × B$也是可列集。
依次证明它们。
(1)证：由于$A$是无穷集，因此$A \neq \varnothing$，那么就有$\exists x_{1} \in A$，记$A_{1} = A | \{ x_{1} \} $，那么$A_{1}$还是无穷集，$A_{1} \neq \varnothing$，从而$\exists x_{2} \in A_{1}$，记$A_{2} = A | \{ x_{1}，x_{2} \} $。依次类推，这样子我们可以得到一个数列$x_{1},x_{2},x_{3},…,x_{n},…$，由它组成的集合$S$就是$A$的子集，因为$\overset{=}{S} = \aleph _{0}$，故$\overset{=}{A} \geq \aleph _{0}$
(2)证：设有可列集$A = \{ x_{1} , x_{2} , x_{3} , … , x_{n} , …\}$，取其子集$B$，记为$B = \{ x_{k_{1}} ,x_{k_{2}} , x_{k_{3}} , … , x_{k_{n}} , …\}$，显然我们能够列出$B$，因此它为可列集。
(3)证：记$A = \{ a_{1} , a_{2} , a_{3} , … , a_{n} , …\}$，$B = \{ b_{1} , b_{2} , b_{3} , … , b_{n} , …\}$，如果$A \bigcap B = \varnothing$，则有$A \bigcup B = \{ a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},…,a_{n},b_{n},…\}$，那么$A \bigcup B$是可列集。如果$A \bigcup B \neq \varnothing$，那么前面出现过的就排除掉，整个集合依然是可列的。接下来，把可列个可列集的元素以矩阵的形式写出来，每一行是一个集合的元素，接着用类似主子式的形式将所有元素排列出来，这说明这些元素组成的集合可列，因此为可列集。
(4)证：$A × B$是指笛卡尔积，同样地，记$A = \{ a_{1} , a_{2} , a_{3} , … , a_{n} , …\}$，$B = \{ b_{1} , b_{2} , b_{3} , … , b_{n} , …\}$，那么可以将笛卡尔积写成
$$(a_{1},b_{1})，(a_{1},b_{2})，(a_{1},b_{3})，…… ，(a_{1},b_{n})，……$$
$$(a_{2},b_{1})，(a_{2},b_{2})，(a_{2},b_{3})，…… ，(a_{2},b_{n})，……$$
$$……$$
$$(a_{n},b_{1})，(a_{n},b_{2})，(a_{n},b_{3})，…… ，(a_{n},b_{n})，……$$
$$……$$
然后写成$(a_{1},b_{1})，(a_{1},b_{2})，(a_{2},b_{1})，(a_{1},b_{3})，(a_{2},b_{2})，(a_{3},b_{1})，……，$，从而可列。
在进一步讨论区间的问题之前，我们还需要指出，有不可列集吗？答案是肯定的，下面我们来考虑实数区间$[0,1]$
Thm8 (不可列集)证明实数区间$[0,1]$是不可列的。
证明：这里是康托尔给出的证明，反设$[0,1]$是可列的，那么可以写为$\{ a_{1} , a_{2} , a_{3} ,… ,a_{n}$，我们将每个元素都写成无限小数的形式，如下：
$$a_{1} = 0.a_{11}a_{12}a_{13}a_{14}……a_{1n}……$$
$$a_{2} = 0.a_{21}a_{22}a_{23}a_{24}……a_{2n}……$$
$$……$$
$$a_{n} = 0.a_{n1}a_{n2}a_{n3}a_{n4}……a_{nn}……$$
$$……$$
进而考虑这样子的一个数$b=0.b_{1}b_{2}b_{3}……b_{n}……$，其中对于每一个$b_{i}$满足$$b_{i} = \begin{cases} 1, & \quad 若a_{ii} \neq 1 \\ 2, & \quad 若a_{ii} = 1 \\ \end{cases}$$那么，$b \neq a_{i}，\forall i \in N$，但是又有$b \in [0,1]$，这就矛盾了，说明[0,1]不可列，更进一步说明了实数集不可列。
第1周课程本来还讨论了一点开区间上只有可列个间断点的性质问题，不过我认为那部分会在第2周课程中进一步讨论，而且第1周课程中还差一个连续统基数没有讨论，因此我决定将两部分内容互换，第2周课程中补充上本周已讲的内容，本周课程中补充上连续统基数部分内容才算真正结束。
