离散数学的一些笔记整理
近期一直在复习离散数学和程序设计的内容，整理成笔记。
1. 关于命题的公式
(1) 双重否定律
$$A \Longleftrightarrow \urcorner \urcorner A$$
(2) 幂等律
$$A \Longleftrightarrow A \vee A \qquad A \Longleftrightarrow A \wedge A$$
(3) 交换律
$$A \vee B \Longleftrightarrow B \vee A \qquad A \wedge B \Longleftrightarrow B \wedge A$$
(4) 结合律
$$(A \vee B) \vee C \Longleftrightarrow A \vee (B \vee C)$$
$$(A \wedge B) \wedge C \Longleftrightarrow A \wedge (B \wedge C)$$
(5) 分配律
$$A \vee (B \wedge C) \Longleftrightarrow (A \vee B) \wedge (A \vee C)(\vee 对 \wedge 的分配律)$$
$$A \wedge (B \vee C) \Longleftrightarrow (A \wedge B) \vee (A \wedge C)(\wedge 对 \vee 的分配律)$$
(6) 德摩根律
$$\urcorner(A \vee B) \Longleftrightarrow \urcorner A \wedge \urcorner B$$
$$\urcorner(A \wedge B) \Longleftrightarrow \urcorner A \vee \urcorner B$$
(7) 吸收律
$$A \vee (A \wedge B) \Longleftrightarrow A$$
$$A \wedge (A \vee B) \Longleftrightarrow A$$
(8) 零律
$$A \vee 1 \Longleftrightarrow 1$$
$$A \wedge 0 \Longleftrightarrow 0$$
(9) 同一律
$$A \vee 0 \Longleftrightarrow 0$$
$$A \wedge 1 \Longleftrightarrow 1$$
(10) 排中律
$$A \vee \urcorner A \Longleftrightarrow 1$$
(11) 矛盾律
$$A \wedge \urcorner A \Longleftrightarrow 0$$
(12) 蕴涵等值式$\bigstar \bigstar \bigstar$
$$A \Longrightarrow B \Longleftrightarrow \urcorner A \vee B$$
(13) 等价等值式
$$(A \Longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A \Longrightarrow B) \wedge (B \Longrightarrow A)$$
(14) 假言易位
$$A \Longrightarrow B \Longleftrightarrow \urcorner B \Longrightarrow \urcorner A$$
(15) 等价否定等值式
$$A \Longleftrightarrow B \Longleftrightarrow \urcorner A \Longleftrightarrow \urcorner B$$
(16) 归谬论
$$(A \Longrightarrow B) \wedge (A \Longrightarrow \urcorner B) \Longleftrightarrow \urcorner A$$
2. 联结词完备集
定义：一个联结词集合(如${\urcorner、\vee、\wedge}$)，若对任何一个公式均可以用该集合中的联结词来表示或等值表示，就称为联结词完备集。
如果该集合任意去掉一个联结词，就不再具备这种特性，就称为最小完备集。
3. 与非联结词
定义：设$p、q$为两个命题，符合命题“$p$与$q$的否定式”(“$p$或$q$的否定式”)称作$p,q$的与非式(或非式)，记作$p \uparrow q$($p \downarrow q$)。符号$\uparrow$($\downarrow$)称作与非联结词(或非联结词)，$p \uparrow q$为真当且仅当$p$与$q$不同时为真($p \downarrow q$为真当且仅当$p$与$q$同时为假)
4. 自然推理系统
定义：一个形式系统$I$由下面四个部分组成：
(1) 非空的字母表，记作$A(I)$
(2) $A(I)$中符号构造的合式公式集，记作$E(I)$
(3) $E(I)$中一些特殊的公式组成的公理集，记作$A_{X}(I)$
(4) 推理规则集，记作$R(I)$
(更新中......)
