母函数(Generating function)详解 转自Tanky Woo
本文来自Tanky Woo :http://www.wutianqi.com/?p=596
(以下内容部分引至杭电ACM课件和维基百科)
在数学中,某个序列的母函数是一种形式幂级数,其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。
母函数可分为很多种,包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题,因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。
这里先给出两句话,不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看:
“把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来”
“母函数的思想很简单—就是把离散数列和幂级数一一对应起来,把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系,最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. “
图一
由此可以看出:
由此得到:
母函数的定义:
对于序列a0,a1,a2,…构造一函数:
称函数G(x)是序列a0,a1,a2,…的母函数
这里先给出2个例子,等会再结合题目分析:
第一种:
有1克、2克、3克、4克的砝码各一 枚,能称出哪几种重量?每种重量各有几种可能方案?
考虑用母函数来解决这个问题:
我们假设x表示砝码,x的指数表示砝码的重量,这样:
1个1克的砝码可以用函数1+x表示,
1个2克的砝码可以用函数1+x2表示,
1个3克的砝码可以用函数1+x3表示,
1个4克的砝码可以用函数1+x4表示,
上面这四个式子懂吗?
我们拿1+x2来说,前面已经说过,x表示砝码,x的指数表示重量,即这里就是一个质量为2的砝码,那么前面的1表示什么?1代表重量为2的砝码数量为0个。(理解!)
不知道大家理解没,我们这里结合前面那句话:
“把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来“
1+x2表示了两种情况:1表示质量为2的砝码取0个的情况,x2表示质量为2的砝码取1个的情况。
这里说下各项系数的意义:
在x前面的系数a表示相应质量的砝码取a个,而1就表示相应砝码取0个,这里可不能简单的认为相应砝码取0个就该是0*x2(想下为何?结合数学式子)。
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所以,前面说的那句话的意义大家可以理解了吧?
几种砝码的组合可以称重的情况,可以用以上几个函数的乘积表示:
(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)
=(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7)
=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10
从上面的函数知道:可称出从1克到10克,系数便是方案数。(!!!经典!!!)
例如右端有2x5 项,即称出5克的方案有2:5=3+2=4+1;同样,6=1+2+3=4+2;10=1+2+3+4。
故称出6克的方案有2,称出10克的方案有1 。
接着上面,接下来是第二种情况:
求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数:
大家把这种情况和第一种比较有何区别?第一种每种是一个,而这里每种是无限的。
以展开后的x4为例,其系数为4,即4拆分成1、2、3之和的拆分数为4;
即 :4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2
这里再引出两个概念整数拆分和拆分数:
所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和(相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子,盒子允许空,也允许放多于一个球)。
整数拆分成若干整数的和,办法不一,不同拆分法的总数叫做拆分数。
现在以上面的第二种情况每种种类个数无限为例,给出模板:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 |
#include <iostream> using namespace std; // Author: Tanky Woo // www.wutianqi.com const int _max = 10001; // c1是保存各项质量砝码可以组合的数目 // c2是中间量,保存没一次的情况 int c1[_max], c2[_max]; int main() { //int n,i,j,k; int nNum; // int i, j, k; while(cin >> nNum) { for(i=0; i<=nNum; ++i) // ---- ① { c1[i] = 1; c2[i] = 0; } for(i=2; i<=nNum; ++i) // ----- ② { for(j=0; j<=nNum; ++j) // ----- ③ for(k=0; k+j<=nNum; k+=i) // ---- ④ { c2[j+k] += c1[j]; } for(j=0; j<=nNum; ++j) // ---- ⑤ { c1[j] = c2[j]; c2[j] = 0; } } cout << c1[nNum] << endl; } return 0; } |
我们来解释下上面标志的各个地方:(***********!!!重点!!!***********)
① 、首先对c1初始化,由第一个表达式(1+x+x2+..xn)初始化,把质量从0到n的所有砝码都初始化为1.
② 、 i从2到n遍历,这里i就是指第i个表达式,上面给出的第二种母函数关系式里,每一个括号括起来的就是一个表达式。
③、j 从0到n遍历,这里j就是(前面i個表達式累乘的表達式)里第j个变量,(這裡感謝一下seagg朋友給我指出的錯誤,大家可以看下留言處的討論)。如(1+x)(1+x^2)(1+x^3),j先指示的是1和x的系数,i=2执行完之后变为
(1+x+x^2+x^3)(1+x^3),这时候j应该指示的是合并后的第一个括号的四个变量的系数。.
④ 、 k表示的是第j个指数,所以k每次增i(因为第i个表达式的增量是i)。
⑤ 、把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0,因为c2每次是从一个表达式中开始的
咱们赶快趁热打铁,来几道题目:
(相应题目解析均在相应的代码里分析)
1. 题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028
代码:http://www.wutianqi.com/?p=587
这题大家看看简单不?把上面的模板理解了,这题就是小Case!
看看这题:
2. 题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1398
代码:http://www.wutianqi.com/?p=590
要说和前一题的区别,就只需要改2个地方。 在i遍历表达式时(可以参考我的资料—《母函数详解》),把i<=nNum改成了i*i<=nNum,其次在k遍历指数时把k+=i变成了k+=i*i; Ok,说来说去还是套模板~~~
3. 题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085
代码:http://www.wutianqi.com/?p=592
这题终于变化了一点,但是万变不离其中。
大家好好分析下,结合代码就会懂了。
4. 题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1171
代码:http://www.wutianqi.com/?p=594
还有一些题目,大家有时间自己做做:
HDOJ:1709,1028、1709、1085、1171、1398、2069、2152
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附:
1.在维基百科里讲到了普通母函數、指數母函數、L級數、貝爾級數和狄利克雷級數:
http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%AF%8D%E5%87%BD%E6%95%B0
2.Matrix67大牛那有篇文章:什么是生成函数:
http://www.matrix67.com/blog/archives/120
3.大家可以看看杭电的ACM课件的母函数那篇,我这里的图片以及一些内容都引至那。
文章暂时讲完后,随着以后更深入的了解,我会把资料继续完善,供大家一起学习探讨。(我的博客—Tanky Woo的程序人生:www.wutianqi.com ,如果大家有问题或者资料里的内容有错误,可以留言给出,谢谢您的支持。)
Tanky Woo