背包问题
背包问题
问题描述
（一）0-1背包问题：一个正在抢劫商店的小偷发现了n个商品，第i个商品价值vi美元，重wi磅，vi和wi都是整数。这个小偷希望拿走价值尽量高的商品，但他的背包最多容纳W磅重的商品，W是一个整数。他应该拿哪些商品呢？（我们称这个问题是0-1背包问题，因为对每个商品，小偷要么把它完整拿走，要么把它留下；他不能只拿走一个商品的一部分，或者把一个商品拿走多次。）
（二）部分背包问题：设定与0-1背包问题是一样的，但对每个商品，小偷可以拿走其一部分，而不是只能做出二元（0-1）选择。你可以将0-1背包问题中的商品想象为金锭，而分数背包问题中的商品更像金砂。
实验目的
（一）实现0-1背包的动态规划算法求解
（二）实现部分背包的贪心算法求解
（三）实现部分背包的动态规划算法求解（选做）
实验原理
应用动态规划的原理：
（一）刻画一个最优解的结构特征；
（二）递归的定义最优解的值；
（三）计算最优解的值，通常采用自底向上的方法；
应用贪心算法的原理：
（一）确定问题的最优子结构
（二）设计一个递归算法
（三）证明如果我们做出一个贪心选择，则只剩下一个子问题
（四）证明贪心选择总是安全的
（五）设计一个递归算法实现贪心策略
实验过程
（一）0-1背包的动态规划算法
应用钢条切割的算法，自顶向下的递归实现0-1背包问题。
CUT-ROD(p, n)
1 if n == 0
2 return 0
3 q = -∞
4 for i = 1 to n
5 q = max(q, p[i]+CUT-ROD(p,n-i))
6 return q
（二）部分背包的贪心算法
实验总结
（一）应用动态规划时，要注意能够寻找最优子结构，这样就能在每次递归的过程中减小原问题的大小，从而将问题的空间降低，得到最终问题的最优解；
（二）贪心算法的关键在于，做出贪心选择后，只剩下一个子问题，同时还要保证贪心选择的安全性；
（三）应用动态规划是能找到0-1背包问题的最优解，而贪心算法不一定能找到问题的最优解，可能得到一个次优解；但是在时间复杂度上，动态规划明显比贪心算法的速度慢，所以trade off就在时间和最优解、次优解之间选择。
附录（代码）
（一）动态规划
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> //int max_value = 0; //int now_weight = 0; typedef struct goods_parameter{ int value; int weight; }goods; int max(int a, int b){ if(a >= b) return a; else returnb; } int dynamic_01pack(goods *p, int all_weight){ int i,q; printf("\nnow_weight=%d\n",all_weight); if(all_weight== 0) return 0; //printf("\nnow_weight= %d\n",all_weight); q = -1; for(i = 0; i< 3; i++){ printf("\nq=%d ",q); if((all_weight-p[i].weight)< 0) break; q = max(q,p[i].value + dynamic_01pack(p, all_weight-p[i].weight)); printf("q_later=%d\n",q); } return q; } int main(){ int i; intmax_value; //intnow_weight = 0; intall_weight = 50; goodsp[3]={{40,10},{100,20},{120,30}}; for(i = 0; i< 3; i++) printf("number%d:value=%d,weight=%d\n",i,p[i].value,p[i].weight); max_value =dynamic_01pack(p, 50); printf("max_value=%d\n",max_value); }
（二）贪心算法
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> //int all_weight = 50; //double max_value = 0; typedef struct goods_greed{ int value; int weight; doubleper_value; }goods; double greed_01pack(goods *p, int all_weight, doubleall_value){ int i; int key; double temp =0; doublemax_per_value = 0; for(i = 0; i< 3; i++){ if(p[i].per_value> max_per_value){ max_per_value= p[i].per_value; key = i; } p[key].per_value = 0; } if(all_weight<= 0) return 0; if(all_weight> 0){ if(all_weight> p[key].weight){ all_value = p[key].value; all_weight= all_weight - p[key].weight; // temp = greed_01pack(p, all_weight,all_value); // all_value = all_value + temp; printf("\n66666666666666666\n"); printf("\nall_value= %lf\n",all_value); } else{ printf("all_weight=%d",all_weight); printf("p[].per_value=%lf",p[key].per_value); all_value = p[key].value * all_weight / p[key].weight; all_weight= all_weight - p[key].weight; printf("\n7777777777777777777\n"); printf("\nall_value= %lf\n",all_value); } temp =greed_01pack(p, all_weight, all_value); printf("temp= %lf\n",temp); all_value= all_value + temp; returnall_value; } } int main(){ int i; int number; intall_weight =50; doubleall_value = 0; doubleresult; printf("inputthe number of goods: "); scanf("%d",&number); printf("\n"); goodsp[number]; printf("inputthe goods' value and weight:"); for(i = 0; i< number; i++){ scanf("%d,%d",&p[i].value,&p[i].weight); p[i].per_value= (double)(p[i].value / p[i].weight); } printf("\n"); for(i = 0; i< number; i++) printf("p[%d].value=%d ;p[%d].weight=%d ;p[%d].per_value=%lf\n",i,p[i].value,i,p[i].weight,i,p[i].per_value); printf("\n"); result =greed_01pack(p,all_weight,all_value); printf("all_value= %lf\n",result); }
