有趣的概率——车羊问题、硬币问题、博弈问题

1、经典车羊问题

假设你参加一个游戏节目，有三扇关闭的门，其中一扇后面有一辆汽车，而其他两扇后面是山羊。你首先选择一扇门，然后主持人打开另外两扇门中的一扇，露出其中一只山羊。

现在，你可以选择是否改变自己的选择，选择另外一扇未被打开的门。那么，应该改变选择还是保持原来的选择呢？

import random

def monty_hall_simulation(change_choice, num_trials):
    wins_times = 0
    
    for _ in range(num_trials):
        doors = ['car', 'goat', 'goat']
        random.shuffle(doors)  # 随机排列门的位置        
        first_selected_door = random.randint(0, 2)  # 随机选择一扇门
        
        # 主持人打开一扇有山羊的门
        opened_door = next(i for i in range(3) if i != first_selected_door and doors[i] == 'goat')
   
        #判断是否选择交换    
        if change_choice:
            selected_door = next(i for i in range(3) if i not in (first_selected_door, opened_door))
        else:
            selected_door = first_selected_door
        
        if doors[selected_door] == 'car':
                wins_times += 1  
                
    win_percentage = (wins_times / num_trials) * 100
    
    return win_percentage

# 进行10000次实验

win_percentage_with_change= monty_hall_simulation(change_choice=1, num_trials=10000)
win_percentage_without_change= monty_hall_simulation(change_choice=0, num_trials=10000)

print(f"改变选择时获胜的概率: {win_percentage_with_change}%")
print(f"保持选择时获胜的概率: {win_percentage_without_change}%")


#输出
改变选择时获胜的概率: 66.25%
保持选择时获胜的概率: 33.22%

2、假如我有初始筹码一百块钱，现在有个抛硬币的游戏，抛出正反面的概率是0.5，每次抛出正面，我的筹码量可以增加80%，抛出反面则减少50%，那么我该玩这个游戏吗?

2.1 如果每次必须all in，则不玩，玩的越多赢钱概率越低，假如每次赢钱增加比例p，每次输钱后亏损比例为q，若（1+p）*（1-q）<1,则不该玩，学过极限的朋友知道，小于1的分数的n次方的极限等于0，有些看起来胜率为0.5的游戏其实是必输的，例如赌场的赌大小，会因为一点点的抽水使得重复n次后变成理论上必输的游戏

def get_res(num_trials):
    x=100

    for _ in range(num_trials):
        if func_p(0.5) == 1:
            x=x*1.8
        else:
            x=x*0.5
    return x

res=get_res(100000)

print ("最终收益为:"+str(res-100))
#输出
#最终收益为:-100.0

2.1 如果可以改变筹码量，则可以玩，假如每次赢钱增加比例p，每次输钱后亏损比例为q，虽然（1+p）*（1-q）<1，例如p=0.8，q=0.5，1.8*0.5=0.1<1,因为可以改变筹码量，但是每次赢钱的期望为本金*（p-q）/2 ，只要p>q,就可以玩

#单次抛硬币后我筹码的期望为0.5*180+0.5*50=115，只要有充足的资金，不管玩几次，单次的期望始终为正值
def get_res(num_trials):
    res=0
    for _ in range(num_trials):
        x=100 #每次筹码量固定
        if func_p(0.5) == 1:
            x=x*1.8
        else:
            x=x*0.5
        res=res+x
    return (res/num_trials)

res=get_res(100000)

print ("平均收益为:"+str(res-100))

#输出
#平均收益为:15.092299999999994

3、一帅哥在酒吧里喝酒，一美女走来邀请玩游戏，规则是，每人手里拿一个硬币，自己选择正面或者反面，然后扣在桌子上，然后同时把手拿开，如果两个硬币都是正面，美女要给帅哥3块钱，两个都是反面，美女要给帅哥1块钱，如果一正一反，则帅哥要给美女2块钱，男女双方均可以控制自己出正反面的频率，如果你是这个帅哥，你玩吗？

期望看似是E= (1/4)*-3+(1/2)*2+(1/4)*-1 = 0 ,如果两人都是随机出的话，期望确实为0，有没有一种策略，不管帅哥怎么玩，只要他没有读心术，玩多了一定输钱呢？

假设帅哥出正面的频率为X ,出反面的频率为1-X，美女正面的频率为Y ,出反面的频率为1-Y,则帅哥赢钱的期望为 3XY +(-2)*(1-X)*Y+(-2)*(1-Y)*X+(-1)*（1-X）*(1-Y) =8XY-3X-3Y+1。美女如果想让帅哥亏钱，则必须找到一个Y，不管X等于0到1的任何值，使得8XY-3X-3Y+1恒小于0，经计算 1/3<Y<2/5 即可满足条件,即如下图等高线中红框部分

# 激活交互式图形
%matplotlib notebook
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义 x 和 y 的范围
x = np.linspace(0, 1, 100)
y = np.linspace(0, 1, 100)

# 创建网格点坐标矩阵
X, Y = np.meshgrid(x, y)

# 计算相应的 z 值
Z = 8 * X * Y - 3 * X - 3 * Y + 1
# 创建等高线图
plt.contour(X, Y, Z, levels=[0], colors='blue')
# 绘制曲面
plt.imshow(Z, extent=(0, 1, 0, 1), origin='lower', cmap='viridis', alpha=0.3)
plt.colorbar(label='z')

# 设置坐标轴标签
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')

# 显示图形
plt.show()

def get_e(x,y,num_trail):
    l=0

    for _ in range(num_trail):
        res1 =  func_p(x)
        res2 =  func_p(y)
    
        if res1 == res2 == 1:
            s=3
        elif (res1 == 0 and res2== 1) or (res1 == 1 and res2== 0) :
            s= -2
        elif res1 == res2 == 0:
            s=1
        l=l+s
    return l

res=get_e(0.1,11/30,1000000)
print ("玩一百万次后帅哥赢钱为："+str(res))

#输出 -105832