递归算法时间复杂度

求递归算法时间复杂度：递归树

递归算法时间复杂度的计算方程式一个递归方程：

在引入递归树之前可以考虑一个例子：

T(n) = 2T(n/2) + n²

迭代2次可以得：

T(n) = n² + 2(2T(n/4) + (n/2) ²)

还可以继续迭代，将其完全展开可得：

T(n) = n² + 2((n/2) ² + 2((n/2²)² + 2((n/2³) ² + 2((n/2⁴) ² +…+2((n/2ⁱ) ² + 2T(n/2^{i + 1})))…))))……(1)

而当n/2ⁱ⁺¹ == 1时，迭代结束。

将(1)式小括号展开，可得：

T(n) = n² + 2(n/2)² + 2²(n/2²) ² + … + 2ⁱ(n/2ⁱ)² + 2ⁱ⁺¹T(n/2ⁱ⁺¹)

这恰好是一个树形结构，由此可引出递归树法。

 

图中的(a)(b)(c)(d)分别是递归树生成的第1,2,3,n步。每一节点中都将当前的自由项n²留在其中，而将两个递归项T(n/2) + T(n/2)分别摊给了他的两个子节点，如此循环。

图中所有节点之和为:

[1 + 1/2 + (1/2)² + (1/2)³ + … + (1/2)ⁱ] n² = 2n²

可知其时间复杂度为O(n²)

可以得到递归树的规则为：

(1)每层的节点为T(n) = kT(n / m) + f(n)中的f(n)在当前的n/m下的值；

(2)每个节点的分支数为k；

(3)每层的右侧标出当前层中所有节点的和。

再举个例子：

T(n) = T(n/3) + T(2n/3) + n

其递归树如下图所示：

可见每层的值都为n，从根到叶节点的最长路径是：

因为最后递归的停止是在(2/3)^kn == 1.则

于是

即T(n) = O(nlogn)

 

总结，利用此方法解递归算法复杂度：

f(n) = af(n/b) + d(n)

1.当d(n)为常数时：

2.当d(n) = cn 时：

 

3.当d(n)为其他情况时可用递归树进行分析。

由第二种情况知，若采用分治法对原算法进行改进，则着重点是采用新的计算方法缩小a值。