POJ 1523 SPF 无向图求割点和块
2012-08-21 20:59 javaspring 阅读(299) 评论(0) 编辑 收藏 举报来源:http://poj.org/problem?id=1523
题意:给一个无向图,求该无向图中的割点和该割点属于块的数量。一个割点是可以属于多个块的。
思路:深搜,dfs解决。给出一些无向图中关于割点割边的知识,是从网上找的。
一、基本概念
无向图
割点:删掉它之后(删掉所有跟它相连的边),图必然会分裂成两个或两个以上的子图。
块:没有割点的连通子图
割边:删掉一条边后,图必然会分裂成两个或两个以上的子图,又称桥。
缩点:把没有割边的连通子图缩为一个点,此时满足任意两点间都有两条路径相互可达。
求块跟求缩点非常相似,很容易搞混,但本质上完全不同。割点可以存在多个块中(假如存在k个块中),最终该点与其他点形成k个块,对无割边的连通子图进行缩点后(假设为k个),新图便变为一棵k个点由k-1条割边连接成的树,倘若其中有一条边不是割边,则它必可与其他割边形成一个环,而能继续进行缩点。
有割点的图不一定有割边,如: 有割边的图也不定有割点,如:
3是割点,分别与(1,2)和(4,5)形成两个无割点的块 w(1,2)为割边,
有向图
强连通分量:有向图中任意两点相互可达的连通子图,其实也十分类似于无向图中的缩点
二、算法
无向图
借助两个辅助数组dfn[],low[]进行DFS便可找到无向图的割点和割边,用一个栈st[]维护记录块和“缩点”后连通子图中所有的点。
dfn[i]表示DFS过程中到达点i的时间,low[i]表示能通过其他边回到其祖先的最早时间。low[i]=min(low[i],dfn[son[i]])
设 v,u之间有边w(v,u),从v->u:
如果low[u]>=dfn[v],说明v的儿子u不能通过其他边到达v的祖先,此时如果拿掉v,则必定把v的祖先和v的儿子u,及它的子孙分开,于是v便是一个割点,v和它的子孙形成一个块。
如果low[u]>dfn[v]时,则说明u不仅不能到达v的祖先,连v也不能通过另外一条边直接到达,从而它们之间的边w(v,u)便是割边,求割边的时候有一个重边的问题要视情况处理,如果v,u之间有两条无向边,需要仍视为割边的话,则在DFS的时候加一个变量记录它的父亲,下一步遇到父结点时不扩展回去,从而第二条无向重边不会被遍历而导致low[u]==dfn[v] ,而在另外一些问题中,比如电线连接两台设备A,B 如果它们之间有两根电线,则应该视为是双连通的,因为任何一条电线出问题都不会破坏A和B之间的连通性,这个时候,我们可以用一个used[]数组标记边的id,DFS时会把一条无向边拆成两条有向边进行遍历,但我们给它们俩同一个id号,在开始遍历v->u前检查它的id是否在上一次u->v时被标记,这样如果两点之间有多条边时,每次遍历都只标记其中一条,还可以通过其他边回去,形成第二条新的路
求割点的时候,维护一个栈st 每遍历到一个顶点v则把它放进去,对它的子孙u如果dfn[u]为0,则表示还没有遍历到则先DFS(u),之后再判断low[u]和dfn[v],如果low[u]>=dfn[v],则把栈中从栈顶到v这一系列元素弹出,这些点与v形成一个块,如果u的子孙x也是一个割点,这样做会不会错把它们和v,u放在一起形成一个块呢,这种情况是不会发生的,如果发现x是一个割点,则DFS到x那一步后栈早就把属于x的子孙弹出来了,而只剩下v,u的子孙,它们之间不存在割点,否则在回溯到v之前也早就提前出栈了!画一个图照着代码模拟一下可以方便理解。
求割边也是一样的。
有向图
有向图强连通分量的算法有两个,一个是Kosaraju,另一个是Tarjan,前者需要两次DFS,代码量偏大但容易理解,后者只需要一次DFS和维护一个栈便可以,实现简单,详见这里>>
三、代码实现
割点和块
求割点的时候由于不知道最开始选的树根是不是只有一个儿子,这样在DFS过来中不会满足low[u]>=dfn[v]而判为割点,但有两个或两个以上儿子的根肯定也是一个割点,所以要特判!
void CutBlock(int v){ dfn[v]=low[v]=++cnt; st[++top]=v; for(int i=p[v];i!=-1;i=edge[i].pre){ int u(edge[i].d); if(dfn[u]==0){ CutBlock(u); GetMin(low[v],low[u]); if(low[u]>=dfn[v]){ //V是一个割点 block[0]=0; while (true) { block[++block[0]]=st[top]; if (st[top--] == u) //只能弹到u为止,v还可以在其他块中 break; } block[++block[0]]=v;//割点属于多个块,一定要补进去 Count(block); } } else GetMin(low[v],dfn[u]); } }
割边和缩点
void CutEdge(int v,int fa){ dfn[v]=low[v]=++cnt; st[++top]=v; for(int i=p[v];i!=-1;i=edge[i].pre){ int u(edge[i].d); if(u==fa)continue; if(!dfn[u]){ CutEdge(u,v); GetMin(low[v],low[u]); if(low[u]>dfn[v]){//边v->u为一条割边 cutE[++numE]=E(v,u); // 将u及与它形成的连通分量的所有点存起来 ++numB; while(1){ id[st[top]]=numB; if(st[top--]==u)break; } } } else GetMin(low[v],dfn[u]); } }
有向图强连通分量
void Tarjan(int v){ dfn[v]=low[v]=++num; used[v]=1; st[++numSt]=v; for(int i=p[v];i!=-1;i=edge[i].pre){ int u(edge[i].d); if(!dfn[u])//还没有标号的点 { Tarjan(u);//先遍历它的子结点 GetMin(low[v],low[u]);//用子结点更新当前点的low值 } else if(used[u]&&GetMin(low[v],dfn[u])); } if(dfn[v]==low[v]){ scc++; while(1){ int u(st[numSt--]); id[u]=scc; used[u]=0; if(v==u)break; } } }
该题代码:
//1523 #include <iostream> #include <cstdio> #include <vector> #include <string.h> using namespace std; #define CLR(arr,val) memset(arr,val,sizeof(arr)) const int N = 1010; int low[N],dfn[N],head[N],numblock[N],vis[N]; vector<int> vv[N]; int timeorder,numpoint = 0,numson; void init(){ CLR(low,0); CLR(dfn,0); CLR(head,-1); CLR(numblock,0); CLR(vv,0); CLR(vis,0); timeorder = 0; numson = 0; } int max(int a,int b){ return a > b ? a : b; } int min(int a,int b){ return a < b ? a : b; } void dfs(int x){ timeorder++; low[x] = dfn[x] = timeorder; vis[x] = 1; for(int i = 0; i < vv[x].size(); ++i){ int y = vv[x][i]; if(!vis[y]){ dfs(y); low[x] = min(low[x],low[y]); if(low[y] >= dfn[x] && x != 1) numblock[x]++; else if( x == 1 ) numson++; } else low[x] = min(low[x],dfn[y]); } } int main(){ //freopen("1.txt","r",stdin); int lp1,numcase = 0,ca = 0; while(scanf("%d",&lp1) && lp1){ init(); numpoint = max(numpoint,lp1); int rp1; scanf("%d",&rp1); numpoint = max(numpoint,rp1); vv[lp1].push_back(rp1); vv[rp1].push_back(lp1); int lp,rp; while(1){ scanf("%d",&lp); if(lp == 0) break; numpoint = max(numpoint,lp); scanf("%d",&rp); numpoint = max(numpoint,rp); vv[lp].push_back(rp); vv[rp].push_back(lp); } if(ca) printf("\n"); ca++; dfs(1); printf("Network #%d\n",++numcase); bool flag = false; if(numson > 1){ flag = true; printf(" SPF node 1 leaves %d subnets\n",numson); } for(int i = 1; i <= numpoint; ++i){ if(numblock[i]){ flag = true; printf(" SPF node %d leaves %d subnets\n",i,numblock[i]+1); } } if(!flag) printf(" No SPF nodes\n"); } return 0; }