RSA

一：费马小定理：假若 p为质数，a为任意正整数，那么 a^p-a可被 p 整除

二：欧拉函数：假若 a与 n 互质，那么  a^Φ(n)-1可被  整除。亦即，a^Φ(n)≡1(mod n)

 

1:如果n=1，则 Φ(1) = 1 。因为1与任何数（包括自身）都构成互质关系。

2:如果n是质数，则 Φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。

3:如果n是质数的某一个次方，即 n = p^k (p为质数，k为大于等于1的整数)，则

　　Φ(p^k)=p^k-p^k-1

这是因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个，即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。

4:如果n可以分解成两个互质的整数之积，n = p1 × p2则Φ(n) = Φ(p1p2) = Φ(p1)Φ(p2)

即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如，Φ(56)=Φ(8×7)=Φ(8)×Φ(7)=4×6=24。

5:因为任意一个大于1的正整数，都可以写成一系列质数的积。

n=p₁*p₂*...p_n

根据4可以得到：

Φ(n)=Φ(p₁)*Φ(p₂)*...Φ(p_n)

根据3可以得到：

Φ(n)=(p₁-1)*(p₂-1)*...(p_n-1)

三：欧拉定理

如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数 φ(n) 可以让下面的等式成立：

a^Φ(n)≡1(mod n)

四：模反元素

如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是1。

ab≡1(mod n)

五：扩展欧几里德算法

用类似辗转相除法，求二元一次不定方程47x+30y=1的整数解。

• 47=30*1+17
• 30=17*1+13
• 17=13*1+4
• 13=4*3+1

然后把它们改写成“余数等于”的形式

• 17=47*1+30*(-1) //式1
• 13=30*1+17*(-1) //式2
• 4=17*1+13*(-1) //式3
• 1=13*1+4*(-3)

然后把它们“倒回去”

• 1=13*1+4*(-3) //应用式3
• 1=13*1+[17*1+13*(-1)]*(-3)
• 1=13*4+17*(-3) //应用式2
• 1=[30*1+17*(-1)]*4+17*(-3)
• 1=30*4+17*(-7) //应用式1
• 1=30*4+[47*1+30*(-1)]*(-7)
• 1=30*11+47*(-7)

得解x=-7, y=11。

六：密钥生成的步骤

1：随机选择两个不相等的质数p和q。

比如61和53。（实际应用中，这两个质数越大，就越难破解。）

2：计算p和q的乘积n。

n = 61×53 = 3233

n的长度就是密钥长度。3233写成二进制是110010100001，一共有12位，所以这个密钥就是12位。实际应用中，RSA密钥一般是1024位，重要场合则为2048位。

3：计算n的欧拉函数φ(n)

φ(n) = (p-1)(q-1)

φ(3233)等于60×52，即3120

4：随机选择一个整数e，条件是1< e < φ(n)，且e与φ(n) 互质

就在1到3120之间，随机选择17。（实际应用中，常常选择65537。）

5：计算e对于φ(n)的模反元素d

就是指有一个整数d，可以使得ed被φ(n)除的余数为1。

ed ≡ 1 (mod φ(n))

这个式子等价于

ed - 1 = kφ(n)

于是，找到模反元素d，实质上就是对下面这个二元一次方程求解

ex + φ(n)y = 1

已知 e=17, φ(n)=3120，代入

17x + 3120y = 1

这个方程可以用"扩展欧几里得算法"求解为 (x,y)=(2753,-15)，即 d=2753。

至此所有计算完成。

6：将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥

n=3233，e=17，d=2753，所以公钥就是 (3233,17)，私钥就是（3233, 2753）

七：RSA算法的可靠性

回顾上面的密钥生成步骤，一共出现六个数字：

p q n φ(n) e d

这六个数字之中，公钥用到了两个（n和e），其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是d，因为n和d组成了私钥，一旦d泄漏，就等于私钥泄漏。

那么，有无可能在已知n和e的情况下，推导出d？

　　（1）ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d。

　　（2）φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。

　　（3）n=pq。只有将n因数分解，才能算出p和q。

结论：如果n可以被因数分解，d就可以算出，也就意味着私钥被破解。

可是，大整数的因数分解，是一件非常困难的事情。目前，除了暴力破解，还没有发现别的有效方法

　　"对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之，对一极大整数做因数分解愈困难，RSA算法愈可靠。

　　假如有人找到一种快速因数分解的算法，那么RSA的可靠性就会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA密钥才可能被暴力破解。到2008年为止，世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。

　　只要密钥长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。"

　　--from 维基百科

举例来说，你可以对3233进行因数分解（61×53），但是你没法对下面这个整数进行因数分解

　　12301866845301177551304949
　　58384962720772853569595334
　　79219732245215172640050726
　　36575187452021997864693899
　　56474942774063845925192557
　　32630345373154826850791702
　　61221429134616704292143116
　　02221240479274737794080665
　　351419597459856902143413

 

它等于这样两个质数的乘积：

　　33478071698956898786044169
　　84821269081770479498371376
　　85689124313889828837938780
　　02287614711652531743087737
　　814467999489
　　　　×
　　36746043666799590428244633
　　79962795263227915816434308
　　76426760322838157396665112
　　79233373417143396810270092
　　798736308917

事实上，这大概是人类已经分解的最大整数（232个十进制位，768个二进制位）。比它更大的因数分解，还没有被报道过，因此目前被破解的最长RSA密钥就是768位。

八：加密和解密

有了公钥和密钥，就能进行加密和解密了。

（1）加密要用公钥 (n,e)

假设鲍勃要向爱丽丝发送加密信息m，他就要用爱丽丝的公钥 (n,e) 对m进行加密。这里需要注意，m必须是整数（字符串可以取ascii值或unicode值），且m必须小于n。

所谓"加密"，就是算出下式的c：

　　m^e ≡ c (mod n)

公钥是 (3233, 17)，m假设是65，那么可以算出下面的等式：

　　65¹⁷ ≡ 2790 (mod 3233)

于是，c等于2790

（2）解密要用私钥(n,d)

用私钥(3233, 2753) 进行解密。可以证明，下面的等式一定成立：

　　c^d ≡ m (mod n)

也就是说，c的d次方除以n的余数为m。现在，c等于2790，私钥是(3233, 2753)，那么，爱丽丝算出

　　2790²⁷⁵³ ≡ 65 (mod 3233)

因此加密前的原文就是65。

至此，"加密--解密"的整个过程全部完成。

我们可以看到，如果不知道d，就没有办法从c求出m。而前面已经说过，要知道d就必须分解n，这是极难做到的，所以RSA算法保证了通信安全。

你可能会问，公钥(n,e) 只能加密小于n的整数m，那么如果要加密大于n的整数，该怎么办？有两种解决方法：一种是把长信息分割成若干段短消息，每段分别加密；另一种是先选择一种"对称性加密算法"（比如DES），用这种算法的密钥加密信息，再用RSA公钥加密DES密钥。

九、私钥解密的证明

最后，我们来证明，为什么用私钥解密，一定可以正确地得到m。也就是证明下面这个式子：

　　c^d ≡ m (mod n)

因为，根据加密规则

　　ｍ^e ≡ c (mod n)

于是，c可以写成下面的形式：

　　c = m^e - kn

将c代入要我们要证明的那个解密规则：

　　(m^e - kn)^d ≡ m (mod n)

(m^e - kn)^d =m^ed+d(m^e)ⁱ(-kn)^(d-i)+(-kn)^d其中(1<i<d)

显然d(m^e)ⁱ(-kn)^(d-i)+(-kn)^d≡0(mod n)

因此，它等同于求证

　　m^ed ≡ m (mod n)

由于

　　ed ≡ 1 (mod φ(n))

所以ed-1=hφ(n)

　　ed = hφ(n)+1

将ed代入：

　　m^hφ(n)+1 ≡ m (mod n)

接下来，分成两种情况证明上面这个式子。

（1）m与n互质。

根据欧拉定理，此时

　　m^φ(n) ≡ 1 (mod n)

得到

　　(m^φ(n))^h × m ≡ m (mod n)

原式得到证明。

（2）m与n不是互质关系。

此时，由于n等于质数p和q的乘积，所以m必然等于kp或kq。

以 m = kp为例，考虑到这时k与q必然互质，则kp与q互斥，则根据欧拉定理，下面的式子成立：

　　(kp)^q-1 ≡ 1 (mod q)

进一步得到

　　[(kp)^q-1]^h(p-1)  ≡ 1 (mod q)，得到：

　　[(kp)^q-1]^h(p-1) × kp ≡ kp (mod q)

　　得到

　　(kp)^{h(q-1)(p-1)+1}  ≡ kp (mod q)

因为ed≡1(mod φ(n))即：ed-1=h(φ(n))

又φ(n)=(p-1)(q-1)

则：ed-1=h(p-1)(q-1)

即：ed=1+h(p-1)(q-1)

得到

　　(kp)^ed ≡ kp (mod q)

将它改写成下面的等式

　　(kp)^ed -kp = tq

　　即

　　(kp)^ed = tq + kp

这时t必然能被p整除，即 t=t'p

　　(kp)^ed = t'pq + kp

因为 m=kp，n=pq，所以

　　m^ed=t'n+kp

　　即

　　m^ed ≡ m (mod n)

原式得到证明。

 

转自http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/07/rsa_algorithm_part_two.html，又增加了一些详细证明步骤。