javafx绘制雪花曲线

什么是分形艺术:
在说明什么是分形艺术前，我们先按照下面的方法构造一个图形。看下图，首先画一个线段，然后把它平分成三段，去掉中间那一段并用两条等长的线段代替。这样，原来的一条线段就变成了四条小的线段。用相同的方法把每一条小的线段的中间三分之一替换为等边三角形的两边，得到了16条更小的线段。然后继续对16条线段进行相同的操作，并无限地迭代下去。下图是这个图形前五次迭代的过程，可以看到这样的分辨率下已经不能显示出第五次迭代后图形的所有细节了。这样的图形可以用Logo语言很轻松地画出来。
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    你可能注意到一个有趣的事实：整个线条的长度每一次都变成了原来的4/3。如果最初的线段长为一个单位，那么第一次操作后总长度变成了4/3，第二次操作后总长增加到16/9，第n次操作后长度为(4/3)^n。毫无疑问，操作无限进行下去，这条曲线将达到无限长。难以置信的是这条无限长的曲线却“始终只有那么大”。

    当把三条这样的曲线头尾相接组成一个封闭图形时，有趣的事情发生了。这个雪花一样的图形有着无限长的边界，但是它的总面积却是有限的。换句话说，无限长的曲线围住了一块有限的面积。有人可能会问为什么面积是有限的。虽然从上面的图上看结论很显然，但这里我们还是要给出一个简单的证明。三条曲线中每一条的第n次迭代前有4^(n-1)个长为(1/3)^(n-1)的线段，迭代后多出的面积为4^(n-1)个边长为(1/3)^n的等边三角形。把4^(n-1)扩大到4^n，再把所有边长为(1/3)^n的等边三角形扩大为同样边长的正方形，总面积仍是有限的，因为无穷级数Σ4^n/9^n显然收敛。这个神奇的雪花图形叫做Koch雪花，其中那条无限长的曲线就叫做Koch曲线。他是由瑞典数学家Helge von Koch最先提出来的。
    分形这一课题提出的时间比较晚。Koch曲线于1904年提出，是最早提出的分形图形之一。我们仔细观察一下这条特别的曲线。它有一个很强的特点：你可以把它分成若干部分，每一个部分都和原来一样（只是大小不同）。这样的图形叫做“自相似”图形(self-similar)，它是分形图形(fractal)最主要的特征。自相似往往都和递归、无穷之类的东西联系在一起。比如，自相似图形往往是用递归法构造出来的，可以无限地分解下去。一条Koch曲线中包含有无数大小不同的Koch曲线。你可以对这条曲线的尖端部分不断放大，但你所看到的始终和最开始一样。它的复杂性不随尺度减小而消失。另外值得一提的是，这条曲线是一条连续的，但处处不光滑（不可微）的曲线。曲线上的任何一个点都是尖点。
    分形图形有一种特殊的计算维度的方法。我们可以看到，在有限空间内就可以达到无限长的分形曲线似乎已经超越了一维的境界，但说它是二维图形又还不够。Hausdorff维度就是专门用来对付这种分形图形的。简单地说，Hausdorff维度描述分形图形中整个图形的大小与一维大小的关系。比如，正方形是一个分形图形，因为它可以分成四个一模一样的小正方形，每一个小正方形的边长都是原来的1/2。当然，你也可以把正方形分成9个边长为1/3的小正方形。事实上，一个正方形可以分割为a^2个边长为1/a的小正方形。那个指数2就是正方形的维度。矩形、三角形都是一样，给你a^2个同样的形状才能拼成一个边长为a倍的相似形，因此它们都是二维的。我们把这里的“边长”理解为一维上的长度，那个1/a则是两个相似形的相似比。如果一个自相似形包含自身N份，每一份的一维大小都是原来的1/s，则这个相似形的Hausdorff维度为log(N)/log(s)。一个立方体可以分成8份，每一份的一维长度都是原来的一半，因此立方体的维度为log(8)/log(2)=3。同样地，一个Koch曲线包含四个小Koch曲线，大小两个Koch曲线的相似比为1/3，因此Koch曲线的Hausdorff维度为log(4)/log(3)。它约等于1.26，是一个介于1和2之间的实数。

编程实现:
首先，绘制构造Koch曲线的初始图形，也就是一条直线:
注意:直角坐标系中y轴和fx中相反

    private void kochCurve(double x0, double y0, double angle, double length) {
        double x1 = x0 + length * Math.cos(angle);
        double y1 = y0 - length * Math.sin(angle);
        Line line = new Line(x0, y0, x1, y1);
        line.setStroke(Color.rgb(255, 255, 255, alpha));
        root.getChildren().add(line);        
    }

这里用线段的起点(x0, y0)，方向(和正向x轴之间的角度)及长度来描述一条线段。
绘制一条从(-1.0, 0.0)到(1.0, 0.0)的Koch曲线用下面的方法：

    double length = 2.0;
    double angle = 0.0;
    double x0 = -1.0;
    double y0 = 0.0;
    kochCurve(x0, y0, angle, length);

 一条Koch曲线是由4条比例缩写为整体1/3的Koch曲线组成。
注意:直角坐标系中y轴和fx中相反

    length /= 3;
    n--;
    kochCurve(x0, y0, angle, length, n, alpha);

    x0 += length * Math.cos(angle);
    y0 -= length * Math.sin(angle);//直角坐标系中y轴和fx中相反
    angle += Math.PI / 3;
    kochCurve(x0, y0, angle, length, n, alpha);

    x0 += length * Math.cos(angle);
    y0 -= length * Math.sin(angle);
    angle -= Math.PI * 2 / 3;
    kochCurve(x0, y0, angle, length, n, alpha);

    x0 += length * Math.cos(angle);
    y0 -= length * Math.sin(angle);
    angle += Math.PI / 3;
    kochCurve(x0, y0, angle, length, n, alpha);

 这样就画出了第一次迭代的结果。

为了控制递归的深度，我们需要给kochCurve添加一个参数n。

private void kochCurve(double x0, double y0, double angle, double length,
            int n, double alpha) {
        if (n == 0) {
            double x1 = x0 + length * Math.cos(angle);
            double y1 = y0 - length * Math.sin(angle);
            Line line = new Line(x0, y0, x1, y1);
            line.setStroke(Color.WHITE);
            root.getChildren().add(line);
        } else {
            length /= 3;
            n--;
            kochCurve(x0, y0, angle, length, n, alpha);

            x0 += length * Math.cos(angle);
            y0 -= length * Math.sin(angle);
            angle += Math.PI / 3;
            kochCurve(x0, y0, angle, length, n, alpha);

            x0 += length * Math.cos(angle);
            y0 -= length * Math.sin(angle);
            angle -= Math.PI * 2 / 3;
            kochCurve(x0, y0, angle, length, n, alpha);

            x0 += length * Math.cos(angle);
            y0 -= length * Math.sin(angle);
            angle += Math.PI / 3;
            kochCurve(x0, y0, angle, length, n, alpha);
        }
    }

 n是函数递归的层数，也是Koch曲线迭代的次数。
kochCurve(x0, y0, angle, length, 0)画出的是初始的图形
kochCurve(x0, y0, angle, length, 1)画出第一次迭代
下面是n = 2, 3, 4, 5的结果。


现在绘制3条Koch曲线就构成了Koch雪花。

   kochCurve(x0, y0, angle, length, n, 1);

    x0 += length * Math.cos(angle);
    y0 -= length * Math.sin(angle);
    angle -= Math.PI * 2 / 3;
    kochCurve(x0, y0, angle, length, n, 1);

    x0 += length * Math.cos(angle);
    y0 -= length * Math.sin(angle);
    angle -= Math.PI * 2 / 3;
    kochCurve(x0, y0, angle, length, n, 1);

这样的Koch雪花看起来有点单调，于是我在每条曲线中增加了两条线段。并增加了一点透明度的变化。

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