合唱队形

前言

又是一道动态规划题目，开始走了弯路，以为是简单的最长公共子序列题目，没深入分析，然后各种两边分别求最长公共子序列，然后就没有然后了

题目

题目描述：
N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列，使得剩下的K位同学不交换位置就能排成合唱队形。
合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右依次编号为1, 2, …, K，他们的身高分别为T1, T2, …, TK，
则他们的身高满足T1 < T2 < … < Ti , Ti > Ti+1 > … > TK (1 <= i <= K)。
你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。
输入：
输入的第一行是一个整数N（2 <= N <= 100），表示同学的总数。
第一行有n个整数，用空格分隔，第i个整数Ti（130 <= Ti <= 230）是第i位同学的身高（厘米）。
输出：
可能包括多组测试数据，对于每组数据，
输出包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列。
样例输入：
8
186 186 150 200 160 130 197 220
样例输出：
4

思路分析

1. 动态规划求出以每个人结尾的左边和右边的最大队列长度
2. 枚举每个人为“中心点”，计算出满足题目要求的队列长度，记录最大值
3. 我们用left[i]表示从左边起到第i个人结束的最长上升队列的人数，那么得到最优解的结构：left[i] = max{max(left[k] + 1), 1} 0<=k<=i-1 && a[k] < a[i]
4. 同样的，用right[i]表示从右边起到第i个人结束的最大上升队列的人数，得到：right[i] = max{max(right[k] + 1), 1} i + 1 <= k <= n - 1 && a[k] < a[i]

有点类似0-1背包问题，关键是总结出最优解的结构

AC代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
 
int a[101]; // 初始序列
int left_incr[101]; // 从左向右的最长序列
int right_incr[101];    // 从右向左的最长序列
 
 
 
int compare(const void *p, const void *q)
{
    const int *a = p;
    const int *b = q;
 
    return *a - *b;
}
 
 
int main()
{
    int i, j, n, count;
 
    while (scanf("%d", &n) != EOF) {
        for (i = 0; i < n; i ++) {
            scanf("%d", &a[i]);
        }
 
        left_incr[0] = 1;
        for (i = 1; i < n; i ++) {
            left_incr[i] = 1;
            for (j = 0; j < i; j ++) {
                if (a[i] > a[j]) {
                    left_incr[i] = (left_incr[i] > left_incr[j] + 1) ? left_incr[i] : left_incr[j] + 1;
                }
            }           
        }
 
        right_incr[n - 1] = 1;
        for (i = n - 2; i >= 0; i --) {
            right_incr[i] = 1;
            for (j = n - 1; j > i; j --) {
                if (a[i] > a[j]) {
                    right_incr[i] = (right_incr[i] > right_incr[j] + 1) ? right_incr[i] : right_incr[j] + 1;
                }
            }
        }
 
        for (i = count = 0; i < n; i ++) {
            if (left_incr[i] + right_incr[i] - 1 > count) {
                count = left_incr[i] + right_incr[i] - 1;
            }
        }
 
        printf("%d\n", n - count);
    }
 
    return 0;
}
 
/**************************************************************
    Problem: 1131
    User: wangzhengyi
    Language: C
    Result: Accepted
    Time:740 ms
    Memory:916 kb
****************************************************************/