0-1背包问题
前言
0-1背包问题,动态规划的经典题目,在九度oj上ac将近230道题目后感觉还是动态规划的题目最具有挑战性,因为每个题目你都需要自己描述最优解的结构,自己去递归定义最优解。这个很有难度,但是征服有难度的题目本身就是对自己的提高!
问题描述
我们有n种物品,物品j的重量为wj,价格为pj。我们假定所有物品的重量和价格都是非负的。背包所能承受的最大重量为W。如果限定每种物品只能选择0个或1个,则问题成为0-1背包问题。
思路
我们假定w1,...,wn和W都是正整数。我们将在总重量不超过Y的前提下,前j种物品的总价格所能达到的最高定义为A(j, Y).
A(j, Y)的递推关系为:
- A(0, Y) = 0
- A(j, 0) = 0
- 如果wj > Y, A(j, Y) = A(j - 1, Y)
- 如果wj <= Y, A(j, Y) = max{A(j - 1, Y), pj + A(j - 1, Y - wj)}
解释一下最后一个递推公式:
总重量为Y时背包的最高价值可能有两种情况:
- 第一种是在Y重量下,可以在前j - 1个物品中得到最大值,这对应于表达式A(j - 1, Y)
- 第二种是包含了第j个物品,那么对于前j - 1个物品,可以在重量为Y - wj的情况下找到最大价值,综合起来就是pj + A(j - 1, Y- wj)
可以考虑二维数组保存第j个物品在重量Y下的最大值
示例
举一个九度oj上典型的0-1背包题目,采药
题目描述
题目描述: 辰辰是个很有潜能、天资聪颖的孩子,他的梦想是称为世界上最伟大的医师。 为此,他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质,给他出了一个难题。 医师把他带到个到处都是草药的山洞里对他说: “孩子,这个山洞里有一些不同的草药,采每一株都需要一些时间,每一株也有它自身的价值。 我会给你一段时间,在这段时间里,你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子,你应该可以让采到的草药的总价值最大。” 如果你是辰辰,你能完成这个任务吗? 输入: 输入的第一行有两个整数T(1 <= T <= 1000)和M(1 <= M <= 100),T代表总共能够用来采药的时间,M代表山洞里的草药的数目。 接下来的M行每行包括两个在1到100之间(包括1和100)的的整数,分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。 输出: 可能有多组测试数据,对于每组数据, 输出只包括一行,这一行只包含一个整数,表示在规定的时间内,可以采到的草药的最大总价值。 样例输入: 70 3 71 100 69 1 1 2 样例输出: 3
ac代码
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> struct herb { int time, value; }; int compare(const void *p, const void *q) { const struct herb *a = p; const struct herb *b = q; return a->time - b->time; } int max(int i, int j, int (*task)[1001], struct herb *herbs) { int v1, v2; v1 = task[i - 1][j]; v2 = herbs[i].value + task[i - 1][j - herbs[i].time]; return (v1 > v2)? v1 : v2; } int dynamic_gatherherb(struct herb *herbs, const int t, const int m) { int i, j, task[101][1001]; for (i = 0; i <= t; i ++) task[0][i] = 0; for (i = 0; i <= m; i ++) task[i][0] = 0; for (i = 1; i <= m; i ++) { for (j = 1; j <= t; j ++) { if (herbs[i].time > j) { task[i][j] = task[i - 1][j]; } else { task[i][j] = max(i, j, task, herbs); } } } return task[m][t]; } int main() { struct herb herbs[105]; int t, m, i, max; while (scanf("%d %d", &t, &m) != EOF) { // 接收数据 for (i = 1; i <= m; i ++) scanf("%d %d", &herbs[i].time, &herbs[i].value); herbs[0].time = herbs[0].value = 0; // 按采摘时间排序 qsort(herbs, m, sizeof(herbs[0]), compare); // 动态规划 max = dynamic_gatherherb(herbs, t, m); printf("%d\n", max); } return 0; } /************************************************************** Problem: 1123 User: wangzhengyi Language: C Result: Accepted Time:90 ms Memory:1232 kb ****************************************************************/