图的单源最短路径算法
概述
假如你有一张地图，地图上给出了每一对相邻城市的距离，从一个地点到另一个地点，如何找到一条最短的路？最短路算法要解决的就是这类问题。定义：给定一个有（无）向图，每一条边有一个权值w，给定一个起始点S和终止点T，求从S出发走到T的权值最小路径，即为最短路径。最短路径算法依赖一种性质：一条两顶点间的最短路径包含路径上其他最短路径。最简单的说就是：最短路径的子路径是最短路径。
松弛技术
松弛技术本质上是一个贪心操作。松弛操作：对每个顶点v属于V,都设置一个属性d[v],用来描述从源点s到v的最短路径上权值的上界，称为最短路径估计(shortest-path estimate)，同时parent[v]代表前趋。初始化伪代码：
INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s) for each vertex v (- V[G] do d[v] <- INF parent[v] <- NULL done d[s] <- 0
初始化后，对所有v属于V，parent[v] = NULL,对v属于{V - {s}}，有d[s] = 0 以及d[v]=无穷。松弛一条边(u, v)，如果这条边可以对最短路径改进，则更新d[v]和parent[v]。一次松弛操作可以减少最短路径估计的值d[v]，并更新v的前趋域parent[v].下面的伪代码对边(u, v)进行了一步松弛操作：
RELAX(u, v, w) if d[v] > d[u] + w(u, v) then d[v] <- d[u] + w(u, v) parent[v] <- u fi
上图所示中，左边例子，最短路径估计值减小，右边例子，最短路径估计值不变。当发现v到u有更近的路径时，更新d[v]和parent[v]
Dijkstra算法
解决最短路径问题，最经典的算法是Dijkstra算法，它是一种单源最短路径算法，其核心思想是贪心算法(Greedy Algorithm)。Dijkstra算法要求所有边的权值非负
算法思想
设G = (V, E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径，就将其加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了);第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度
伪代码
Dijkstra(G, w, s)
INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)
S <- 空集
Q <- V[G]
while Q != 空集
do
u <- EXTRACT-MIN(Q)
S <- S && {u}
for each vertex v (- Adj[u]
do
RELAX(u, v, w)
done
done
Dijkstra算法时间主要消耗在寻找最小权值的边，和松弛所有剩余边，所以EXTRACT-MIN（Q）这一步，更好的方法是使用优先队列，优先队列可以使用二叉堆
算法描述
- 假设用带权的邻接矩阵arcs来表示带权有向图，arcs[i][j]表示弧<vi, vj>上的权值。若<vi, vj>不存在，则置arcs[i][j]为无穷(在计算机上可用允许的最大值代替)。S为已找到从v出发的最短路径的终点的集合，它的初始状态为空集。那么，从v出发到图上其余各顶点（终点）vi可能达到的最短路径长度的初值为：D[I] = arcs[src][i] vi (- V
- 选择vj，使得D[j] = Min{D[i] | vi (- V - S},vj就是当前求得的一条从v出发的最短路径的终点。令S = S && {j}
- 修改从v出发到集合V - S上任一顶点vk可达的最短路径长度。如果 D[j] + arcs[j][k] < D[k],则修改D[k] = D[j] + arcs[j][k]
- 重复操作2、3共n-1次。由此求得从v到图中其余各顶点的最短路径长度是依路径长度递增的序列
实现代码（c语言）
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
// 图顶点的最大值
#define NODE 102
// 边权值的最大值
#define MAX 10002
// 邻接矩阵存储图
int map[NODE][NODE];
// 记录src到其它各个顶点的最短路径长度
int dis[NODE];
// 标记数组，判断哪些src到哪些顶点的最短路径已经求出
int mark[NODE];
/**
* 用Dijkstra算法求图map的src到其余顶点的最短路径
* src为单源顶点，n为图中顶点个数
*/
void dijkstra(int src, int n)
{
int i, j, min, k, tmp;
// 初始化
for (i = 0; i < n; i ++) {
dis[i] = map[src][i];
mark[i] = 0;
}
dis[src] = 0;
mark[src] = 1;
// n-1次主循环，每次循环求得src到某个顶点v的最短路径
for (i = 1; i < n; i ++) {
min = MAX;
k = src;
for (j = 0; j < n; j ++) {
if (!mark[j] && dis[j] < min) {
k = j;
min = dis[j];
}
}
mark[k] = 1;
// 更新src到其它各顶点的最短路径
for (j = 0; j < n; j ++) {
tmp = map[k][j] + dis[k];
if (tmp < dis[j] && mark[j] == 0) {
dis[j] = tmp;
}
}
}
}
