素数检测算法
前言
今天做ACM的时候,遇到了素数的检测,检测一个范围内的素数的时候,如果用最简单的那种方法,超时严重,因此学习了一个新的素数检测算法——素数筛选法,这里也是跟大家分享一下
素数
素数的定义
一个大于1的整数,如果不能被除1和它本身之外的其它正整数整除,则是素数(又称质数)
合数的定义
一个大于1的整数,如果不是素数则是合数。其中能整除这个数的正整数叫做约数,不等于1也不等于合数本身的约数叫做非平凡约数。
注意:
1既不是素数也不是合数
检测素数
所谓素数检测,就是给定任意一个大于1的整数,判断这个整数是否为素数。
因子检测法
方法:就是从2到n-1一个个的拿来尝试,看能否整除n,如果存在能够整数n的(找到一个因子),则n不是素数,否则认为n是素数。实际,是不需要试探到n-1的,只要的n的二次方根即可,原因是:
设n = a * b,且a、b均为n非平凡约数,显然a > n的二次方根和b > n的二次方根不可能同时成立,因为同时成立时 a * b就会大于n,所以如果n存在非平凡约数,至少有一个小于等于n的二次方根,因此只要遍历到n的二次方根即可。
因子检测的实现代码如下(c):
int isPrime(int n) { int i, flag; flag = (n <= 1)? 0 : 1; for(i = 2; i <= sqrt(n); i ++) { if(n % i == 0) { flag = 0; break; } } return flag; }
测试结果:
![](http://img-my.csdn.net/uploads/201211/21/1353464973_8705.png)
时间复杂度:
很明显,因子检测算法的时间复杂度是0(n的二次方根),一般来说,这个时间复杂度已经很牛叉了,但是如果我要求n以内所有的素数集合,那时间复杂度瞬间就到了n * n的二次方根,这个对于n很大时是不可忍受的
素数筛选法
利用素数因子检测法去超找n以内的所有素数,时间复杂度太高,不可忍受,因此这里介绍另外一种算法,素数筛选法,可以大大的节省时间,带来的直接功效是九度oj上关于素数检测的题我瞬间ac,用素数因子检测基本都是wa。
原理:
当i是素数的时候,则i的所有倍数必然是合数。如果i已经判断不是素数了,那么找到i后面的质数来把这个质树的倍数筛掉。
求20以内素数的筛选过程:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
- 第一步,因为所有的偶数和0,1必然不是素数,则将这些数的对应的value标记为flase,其余为true。
- 第二步:
- i = 3,由于prime[3] = 1,则prime[6],prime[9],prime[12],prime[15],prime[18]均标记为0;
- i = 4,由于prime[4] = 0,则continue,不做处理;
- i = 5 > sqrt(20),算法结束
时间复杂度:
这个时间复杂度由于我的数学知识有限,也没法把计算过程解释出来,总之确实是很快,至于为什么i= 5就结束了,原因跟素数因子法里面的原理是一样的,因为n的因子必然有一个是小于等于n的二次方根的。
素数筛选法实现代码:
void getPrimeArray(int *prime) { int i, j; //初始化素数标识数组 for(i = 0; i < max; i ++) { if((i == 2 || i % 2 != 0) && i != 1) { prime[i] = 1; } else { prime[i] = 0; } } //进行素数的筛选 for(i = 2; i * i < max; i ++) { if(prime[i]) { for(j = 2 * i; j < max; j += i) { prime[j] = 0; } } } }