整数划分问题及其算法
整数划分问题及其算法
一、问题描述
整数划分问题是将一个正整数n拆成一组数连加并等于n的形式,且这组数中的最大加数不大于n。
如整数的6划分为:
6
5 + 1
4 + 2, 4 + 1 + 1
3 + 3, 3 + 2 + 1, 3 + 1 + 1 + 1
2 + 2 + 2, 2 + 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1共11种。
二、算法描述
下面通过递归方法得到一个正整数的划分数。
递归函数的声明为 int split(int n, int m);其中n为要划分的正整数,m是划分中的最大加数(当m > n时,最大加数为n),
Ⅰ.当n = 1或m = 1时,split的值为1,可根据上例看出,只有一个划分1 或 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
可用程序表示为if(n == 1 || m == 1) return 1;
Ⅱ.下面看一看m 和 n的关系。它们有三种关系
(1) m > n
在整数划分中实际上最大加数不能大于n,因此在这种情况可以等价为split(n, n);
可用程序表示为if(m > n) return split(n, n);
(2) m = n
这种情况可用递归表示为split(n, m - 1) + 1,从以上例子中可以看出,就是最大加数为6和小于6的划分之和
可用程序表示为if(m == n) return (split(n, m - 1) + 1);
(3) m < n
这是最一般的情况,在划分的大多数时都是这种情况。从上例可以看出,设m = 4,那split(6, 4)的值是最大加数小于4划分数和整数2的划分数的和。
可用程序表示为split(n, m - 1) + split(n - m, m)
三、程序语言实现
因为算法是程序的核心部分,而算法是一致的,所以下面的程序思路一致,大同小异,只是形式不一而已。
1.Java实现:
2.C++实现:
C++实现的比较潦草,没有让用户输入数据,没有一般交互性,不过可以自己再改正一下!
就递归方式而言,最大的不好之处就是递归次数太多,做了太多的冗余计算。
(N,M) 所需时间(ms)
100,100 250
120,120 1281.3
140,140 6297
160,160 27484.7
180,180 110844.5
200,200 398417.4
相对而言,动态规划效率要高很多,不是一个数量级的,篇在介绍啊!