探秘希尔伯特 23 个问题：从提出到解决（或进展）

1. 康托的连续统基数问题

• 问题描述：1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设 。
• 解决情况：1938年，侨居美国的奥地利数学家哥德尔证明连续统假设和ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科恩证明连续统假设和ZF公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能用世所公认的ZF公理证明其对错，希尔伯特第一问题在这一意义上已获解决.

2. 算术公理的无矛盾性

• 问题描述：欧氏几何的无矛盾性可归结为算术公理的无矛盾性，希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明.
• 解决情况：哥德尔在1931年发表不完备性定理加以否定。1936年根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的无矛盾性.

3. 两个等底等高四面体的体积相等问题

• 问题描述：存在两个等高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等.
• 解决情况：德恩在1900年证明确实存在着这样的两个四面体.

4. 两点间以直线为距离最短线问题

• 问题描述：此问题提得过于一般，满足此性质的几何学很多，需加以某些限制条件.
• 解决情况：1973年苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决.

5. 一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的

• 问题描述：是否每一个局部欧氏群都一定是李群?
• 解决情况：中间经过冯·诺伊曼（1933年对紧群情形）、邦德里雅金（1939年对交换群情形）、歇瓦莱 （1941年对可解群情形）的努力，于1952年，由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决了，得到了完全肯定的结果.

6. 物理学的公理化

• 问题描述：希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率论和力学.
• 解决情况：1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化，后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功，但物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑.

7. 某些数的超越性

• 问题描述：证明若是代数数，β是无理数的代数数，则α^β一定是超越数或至少是无理数 （例如e和π）.
• 解决情况：1934年苏联数学家盖尔封特证明这是对的，1935年，德国数学家施奈德也独立地解决了这一问题.

8. 素数问题

• 问题描述：素数是一个古老的数学研究对象，希尔伯特在此提出了一些关于素数的问题，比如黎曼猜想，即黎曼ζ函数的非平凡零点的实部都为1/2，这是希尔伯特第八问题的一部分 。
• 解决情况：至今未完全解决，虽然有许多相关的研究成果和部分进展，但黎曼猜想仍然是数学界最重要的未解决问题之一 。

9. 任意数域中最一般的互反律之证明

• 问题描述：在任意数域中寻找最一般的互反律并证明之。
• 解决情况：高木贞治在1921年解决了阿贝尔域上的类域论问题，建立了类域论的基本理论框架，这是对该问题的重大突破。后来，阿廷等人进一步发展和完善了类域论，使其成为代数数论中的重要理论，但对于一般数域的最一般互反律的完整证明，仍在不断的研究和发展之中 。

10. 丢番图方程的可解性

• 问题描述：给定一个具有任意个未知数的、系数为有理整数的丢番图方程，设计一种方法，根据这种方法可以通过有限步运算来判别该方程是否有有理整数解。
• 解决情况：1970年，马蒂雅谢维奇证明了希尔伯特所期望的这种通用算法是不存在的，从而否定地解决了这个问题，但对于一些特殊类型的丢番图方程，仍然有许多研究在进行，以寻找有效的求解方法和判别条件 。

11. 系数为任意代数数的二次型

• 问题描述：研究系数为任意代数数的二次型的理论，包括二次型的等价性、正定二次型的判定等问题。
• 解决情况：哈塞在1923年至1924年期间，对于系数为代数数域的二次型的局部-整体原则进行了系统的研究，取得了重要成果，西格尔在1936年至1951年期间进一步发展和完善了相关理论，但对于该问题的研究仍在继续深入 。

12. 阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意代数有理域

• 问题描述：将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域。
• 解决情况：朗兰兹纲领可以看作是对这一问题的一种深远的推广和发展，它建立了数论、代数几何和表示论之间的深刻联系，但目前朗兰兹纲领尚未完全实现，仍然是一个活跃的研究领域，许多数学家正在努力推进相关研究 。

13. 不可能用仅有两个变数的函数解一般的七次方程

• 问题描述：证明一般的七次方程不可能用仅有两个变数的函数来求解。
• 解决情况：该问题已被解决，基于伽罗瓦理论等相关数学工具，可以证明一般的七次方程的根不能用仅有两个变数的函数表示出来，但具体的证明过程较为复杂，涉及到代数方程的根式可解性等深刻的理论 。

14. 证明某类完全函数系的有限性

• 问题描述：证明某类完全函数系是有限的。
• 解决情况：1958年，永田雅宜给出了一个反例，证明了存在这样的代数簇，其对应的完全函数系不是有限生成的，从而否定地解决了这个问题，但对于一些特殊类型的代数簇或函数系，有限性的研究仍然有一定的意义和价值 。

15. 舒伯特计数演算的严格基础

• 问题描述：为舒伯特计数演算建立严格的基础，使其能够在更加坚实的理论框架下进行计算和应用。
• 解决情况：随着代数几何的发展，特别是20世纪50年代以后，格罗滕迪克等人引入了概型等概念和理论，为代数几何提供了更加严格和广泛的基础，使得舒伯特计数演算等相关理论能够在更现代的代数几何框架下得到重新审视和发展，相关的研究仍在不断深入和完善 。

16. 代数曲线和曲面的拓扑

• 问题描述：研究代数曲线和曲面的拓扑性质，如亏格、奇点等与代数方程之间的关系。
• 解决情况： 该问题推动了代数拓扑学与代数几何的交叉发展，有许多重要的研究成果，如小平邦彦等数学家在复代数曲面的分类等方面做出了杰出贡献，但关于代数曲线和曲面的拓扑还有许多问题有待进一步研究 。

17. 正定形式的平方表示式

• 问题描述：将正定形式表示为平方和的形式，并研究这种表示的性质和存在性。
• 解决情况：阿廷在1927年证明了对于实域上的正定有理函数，一定可以表示为平方和的形式，但对于更一般的域和更复杂的情形，仍然有许多相关的研究在进行，以进一步深化对正定形式的平方表示式的理解和认识 。

18. 由全等多面体构造空间

• 问题描述：研究如何用全等的多面体来构造空间，以及这种构造的唯一性和相关性质。
• 解决情况：比伯巴赫在1910年至1912年期间，对于平面情形的等周问题进行了研究，证明了在所有具有相同周长的平面图形中，圆所围成的面积最大，这与用全等的多边形构造平面区域等问题有一定的关联，后来，对于高维空间的类似问题也有许多研究，但仍然存在一些未解决的难题 。

19. 正则变分问题的解是否一定解析

• 问题描述：探讨正则变分问题的解是否一定是解析函数。
• 解决情况：1904年，伯恩斯坦证明了在二维情况下，椭圆型偏微分方程的解如果是二次连续可微的，那么它一定是解析的，这为正则变分问题的解的解析性提供了重要的基础，但对于高维情形和更一般的正则变分问题，仍然有许多研究在进行，以进一步确定解的解析性等性质 。

20. 一般边值问题

• 问题描述：研究一般的边值问题，包括边值条件的设定、解的存在性和唯一性等.
• 解决情况：此问题进展迅速，已成为一个很大的数学分支，在力学等领域有广泛发展.

21. 具有给定单值群的线性微分方程的存在性

• 问题描述：给定一个单值群，证明存在具有该单值群的线性微分方程。
• 解决情况：希尔伯特本人在1905年至1909年期间，对于一类特殊的富克斯型线性微分方程的单值群问题进行了研究，取得了一些重要成果，后来，庞加莱等数学家也对相关问题进行了深入研究，随着复分析、代数几何等数学分支的发展，对于具有给定单值群的线性微分方程的存在性和性质等问题有了更深入的理解和更广泛的研究，但仍然存在一些未解决的问题和进一步研究的空间 。

22. 用自守函数将解析函数单值化

• 问题描述：研究如何用自守函数将解析函数单值化，即通过自守函数的变换将多值的解析函数转化为单值函数。
• 解决情况：庞加莱和克莱因等数学家在19世纪末20世纪初对自守函数和单值化问题进行了深入研究，取得了重要成果，如庞加莱证明了对于亏格为1的黎曼曲面，一定存在一个自守函数将其单值化，后来，对于高亏格的黎曼曲面和更一般的情形，单值化问题仍然是一个活跃的研究领域，与代数几何、复分析等多个数学分支有着密切的联系 。

23. 发展变分学方法的研究

• 问题描述：这不是一个明确的数学问题，旨在推动变分学方法的进一步发展.
• 解决情况：当代计算力学的神器——有限元法——的理论基础便是变分法，变分学在数学、物理、工程等多个领域都有重要的应用和不断的发展.