聚焦数学经典难题，领略思维极限挑战

希尔伯特的23个问题

1900年，德国数学家大卫·希尔伯特在巴黎举行的第二届世界数学家大会上提出了23个数学难题，这些问题涵盖了数学的多个重要领域，对20世纪数学的发展产生了深远影响，指引了众多数学家的研究方向，有力推动了数学的进步，其中许多问题现已得到解决，但仍有部分问题未被完全攻克.

费马大定理

• 内容：当整数(n>2)时，关于(x,y,z)的不定方程(x^{n}+y=z^{n})无正整数解.
• 解决历程：该定理由法国业余大数学家费马于1637年提出，历经300多年，1994年被英国数学家安德鲁·怀尔斯攻克.

哥德巴赫猜想

• 内容：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和.
• 研究进展：该猜想自1742年提出以来，尽管许多数学家为之付出了巨大努力，但至今仍未得到完全证明，是数学界最著名的未解问题之一，陈景润等数学家在这方面取得了举世瞩目的成果，他证明了“1+2”，即任何一个充分大的偶数都可以表示成一个质数和一个不超过两个质数乘积的数之和，这是目前该领域的最佳成果.

四色定理

• 内容：任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色，用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字”.
• 解决过程：1852年被提出后，1976年美国伊利诺大学的哈肯与阿佩尔合作，通过编制程序，用电子计算机花了1200个小时，作了100亿判断，最终完成了四色定理的证明.

庞加莱猜想

• 内容：任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面.
• 解决情况：该猜想由法国数学家庞加莱于20世纪初提出，历经近百年的努力，最终在2003年被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼证明.

黎曼假设

• 内容：黎曼ζ函数的非平凡零点都位于复平面的临界线上，该猜想对于解析数论、代数数论和数学物理等领域具有重要意义.
• 研究现状：尽管许多数学家试图证明或反驳黎曼猜想，但至今仍未取得突破性进展，它是克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题之一，德国数学家黎曼于1859年提出该假设，人们已经对开始的1,500,000,000个解验证过，但一般性的证明尚未完成.

NP完全问题

• 内容：P类问题是指那些存在多项式时间算法的问题，而NP类问题是指那些可以在多项式时间内验证解的问题，NP完全问题即探讨是否所有NP问题都是P问题，也就是是否所有可以在多项式时间内验证解的问题都存在多项式时间算法.
• 意义及现状：此问题是计算机科学和数学领域的一个基本问题，涉及到计算复杂性和算法效率的问题，一旦证明(P = NP)，将是计算机科学的一场决定性突破，在软件工程实践等诸多领域都将带来飞跃，但目前该问题仍未得到解决，是克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题之一.

霍奇猜想

• 内容：对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的（有理线性）组合.
• 影响：它是关于代数几何的一个基本问题，涉及到代数曲面的几何性质，其解决将有助于深入理解代数曲面的几何结构，推动代数几何领域的发展，但至今仍是未被破解的数学难题之一，也是克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题之一.

杨-米尔斯存在性和质量缺口

• 内容：基于杨-米尔斯方程的预言已在一些高能实验中得到证实，但该方程既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解，特别是被大多数物理学家所确认、并且在他们对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口假设”，在数学上尚未得到严格证明.
• 意义：此问题涉及到量子场论和微分几何的深层次联系，其解决将有助于更深入地理解基本粒子的性质和行为，是数学物理领域的难题之一，也是克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题之一.

纳卫尔-斯托克斯方程的存在性与光滑性

• 内容：纳卫尔-斯托克斯方程是描述流体运动的基本方程之一，其解的存在性和光滑性问题是数学和物理学领域的一个长期未解难题.
• 重要性及现状：该方程的存在性与光滑性问题的解决将有助于更好地理解流体的运动规律，但至今仍未取得决定性进展，是克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题之一.

BSD猜想

• 内容：对于任何给定的椭圆曲线(E)和有理数(d)，如果(L(E,d)≠0)，则存在阶为(d)的(E)的有理点，该猜想主要描述了阿贝尔簇的算术性质与解析性质之间的联系.
• 意义及现状：由BSD猜想可推导出奇偶性猜想、西尔维斯特猜想等猜想，其解决将有助于更深入地理解椭圆曲线的算术性质和几何性质，推动数论和代数几何领域的发展，但该猜想尚未被证实，是克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题之一.