全面解析基数排序：定义、原理、复杂度、稳定性及实现步骤详解

1. 定义
   • 基数排序（Radix Sort）是一种非比较型整数排序算法，它是根据数字的每一位来排序。它的基本思想是将整数按位数切割成不同的数字，然后按每个位数分别比较。对于有d位的整数，需要进行d趟排序。
2. 工作原理
   • 以最低有效位（Least - Significant - Digit，LSD）为例
     • 首先，考虑待排序的整数序列。假设我们有一组整数，如{123,432,53,9,342}。基数排序从最低位（个位）开始排序。
     • 在第一趟排序中，只看每个数的个位数字。个位数字为3的有123和342，个位数字为2的有432，个位数字为9的是9，个位数字为3的有53。按照个位数字的大小顺序将这些数重新排列，得到一个新的序列（顺序可以是从小到大或从大到小，这里以从小到大为例）：{9,53,123,342,432}。
     • 然后，进行第二趟排序，看十位数字。新序列中十位数字为0的是9，十位数字为5的是53，十位数字为2的是123和342，十位数字为3的是432。再次按照十位数字的大小重新排列，得到：{9,53,123,342,432}。
     • 最后，看百位数字进行第三趟排序。百位数字为0的是9和53，百位数字为1的是123，百位数字为3的是342，百位数字为4的是432。经过这趟排序后，得到最终的有序序列：{9,53,123,342,432}。
   • 最高有效位（Most - Significant - Digit，MSD）排序与之类似，但方向相反
     • 先从最高位开始比较和排序，依次向低位进行。不过，MSD排序在实现时可能会稍微复杂一些，因为需要考虑不同位数数字的分组等情况。
3. 时间复杂度
   • 设待排序数据的个数为n，数据的最大位数为d，每一位可能的取值范围为k（例如十进制下k = 10）。
   • 基数排序的时间复杂度为\(O(d(n + k))\)。在实际应用中，如果k是一个常数（如十进制数k = 10），并且d相对较小，基数排序可以在线性时间内完成排序，效率较高。
4. 空间复杂度
   • 基数排序的空间复杂度为\(O(n + k)\)。这是因为在排序过程中，需要额外的空间来存储计数数组（用于计数排序的中间步骤）和临时的排序结果。
5. 稳定性
   • 基数排序是一种稳定的排序算法。稳定排序的意思是，如果两个元素的值相等，在排序前后它们的相对顺序保持不变。
   • 例如，在原始序列中有两个元素a和b，a = 123，b = 123，在排序过程中，如果a在b之前，那么在排序后a仍然在b之前。这一特性在某些应用场景中非常重要，比如对包含多个关键字的复杂数据结构进行排序时，能够保证相同关键字部分的原有顺序。
6. 适用场景
   • 基数排序适用于对整数或可以表示为固定长度数字序列的对象进行排序。特别是当待排序的数据范围比较固定，且位数相对较少时，它的效率很高。
   • 例如，对手机号码（假设都是11位数字）进行排序，或者对身份证号码（18位数字）等固定长度数字序列排序时，基数排序是一个很好的选择。它也可以用于对日期（可以将日期转换为数字表示，如年月日转换为一个整数）等数据进行排序。
7. 实现步骤（以LSD为例）
   • 步骤一：确定最大位数
     • 遍历待排序的数组，找到最大数，确定其位数d。这是因为排序的趟数将由最大数的位数决定。
   • 步骤二：从最低位开始排序（LSD）
     • 对于每一位（从个位开始，依次到最高位）：
       • 创建一个计数数组count，长度根据数字的取值范围确定（如十进制下长度为10）。
       • 遍历待排序数组，统计每个数字在当前位出现的次数，存入count数组。
       • 对count数组进行调整，使得count[i]的值为小于等于i的数字的个数（这是为了确定每个数字在排序后的位置）。
       • 创建一个临时数组temp，用来存储排序后的结果。
       • 再次遍历待排序数组，根据count数组确定每个数字在temp数组中的位置，将数字放入temp数组。
       • 将temp数组中的元素复制回原数组，完成一趟排序。
   • 步骤三：重复步骤二，直到所有位都排序完成
     • 经过d趟排序后，数组中的元素就是有序的了。