基于线性回归的气温与电力需求关系建模：能源供应稳定保障之策
1. 项目目标
在能源管理领域，准确预测电力需求对于保障能源供应稳定至关重要。气温是影响电力需求的重要因素之一，通过建立气温与电力需求之间的线性回归模型，我们可以预测不同气温条件下的电力需求，从而为能源供应规划提供有力支持。
2. 建模准备
数据收集
- 来源：从气象部门获取历史气温数据，从电力公司获取对应的电力需求数据。数据涵盖一定的时间范围，例如过去几年的每小时或每天的数据。
- 格式：确保数据以结构化的表格形式呈现，每一行代表一个时间点，包含气温和电力需求两个变量。
数据预处理
- 缺失值处理：
- 对于气温数据中的缺失值，可以使用均值、中位数或插值法进行填充。
- 对于电力需求数据中的缺失值，由于其对模型影响较大，若缺失比例较小，可采用相似时间段的均值填充；若缺失比例较大，需进一步分析缺失原因，考虑是否删除相关记录。
- 异常值处理：
- 通过绘制箱线图或计算 Z - score 来识别气温和电力需求数据中的异常值。
- 对于异常值，可以采用盖帽法（将异常值替换为合理的边界值）或删除异常值记录的方法进行处理。
特征工程
- 数据标准化：对气温数据进行标准化处理，使其均值为 0，标准差为 1，以加速模型收敛和提高模型稳定性。
- 创建新特征：考虑创建一些与气温相关的新特征，如气温的平方、立方等，以捕捉可能的非线性关系。
3. 建模流程
模型选择
选择线性回归模型作为基础模型，因为它简单直观，解释性强，能够较好地捕捉气温与电力需求之间的线性关系。
划分数据集
将预处理后的数据划分为训练集和测试集，通常按照 80%:20% 的比例进行划分。训练集用于训练模型，测试集用于评估模型的性能。
模型训练
- 使用训练集数据对线性回归模型进行训练，通过最小化损失函数（如均方误差）来调整模型的参数。
- 在训练过程中，可以使用梯度下降等优化算法来加速模型收敛。
4. 目标函数与优化求解
目标函数
线性回归模型的目标是最小化预测值与真实值之间的误差。通常采用均方误差（MSE）作为目标函数，定义如下：
\(MSE = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2\)
其中，\(n\) 是样本数量，\(y_i\) 是第 \(i\) 个样本的真实电力需求，\(\hat{y}_i\) 是第 \(i\) 个样本的预测电力需求。
优化求解
使用梯度下降算法来求解目标函数的最小值。梯度下降算法通过迭代更新模型的参数，使得目标函数的值逐渐减小。具体步骤如下：
- 初始化模型参数（权重和偏置）。
- 计算目标函数关于参数的梯度。
- 根据梯度和学习率更新参数。
- 重复步骤 2 和 3，直到目标函数收敛或达到最大迭代次数。
5. 模型评估
评估指标
- 均方误差（MSE）：衡量预测值与真实值之间的平均误差平方，值越小表示模型预测越准确。
- 均方根误差（RMSE）：MSE 的平方根，与原始数据具有相同的单位，更直观地反映预测误差的大小。
- 决定系数（R²）：衡量模型对数据的拟合程度，取值范围在 0 到 1 之间，值越接近 1 表示模型拟合效果越好。
评估过程
使用测试集数据对训练好的模型进行预测，然后计算上述评估指标，以评估模型的性能。
6. 模型评估与调优
交叉验证
为了更准确地评估模型性能，采用交叉验证方法。例如，使用 5 折交叉验证，将训练集数据划分为 5 个子集，每次使用 4 个子集进行训练，1 个子集进行验证，重复 5 次，最后取平均评估指标作为模型的性能指标。
超参数调优
线性回归模型的超参数较少，主要包括正则化参数（如 L1 和 L2 正则化参数）。可以使用网格搜索或随机搜索等方法来寻找最优的超参数组合。具体步骤如下：
- 定义超参数的搜索空间。
- 使用交叉验证方法对每个超参数组合进行评估。
- 选择评估指标最优的超参数组合作为最终的模型超参数。
模型比较
考虑使用其他回归模型（如多项式回归、岭回归、lasso 回归等）与线性回归模型进行比较，选择性能最优的模型作为最终的预测模型。
7. 示例代码
以下是使用Python3语言和scikit-learn库来实现：
#安装 numpy 1.23.5 和 pandas 1.5.3
pip install numpy==1.23.5
pip install pandas==1.5.3
# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import mean_squared_error, r2_score
import matplotlib.pyplot as plt
# 模拟数据生成函数
def generate_data(num_samples):
# 随机生成气温数据，范围在 0 到 40 摄氏度之间
temperature = np.random.uniform(0, 40, num_samples)
# 电力需求与气温的简单线性关系，加上一些随机噪声
noise = np.random.normal(0, 5, num_samples)
power_demand = 2 * temperature + 30 + noise
return temperature, power_demand
# 生成 100 个模拟数据点
temperature, power_demand = generate_data(100)
# 将数据整理成 DataFrame 格式
data = pd.DataFrame({
'Temperature': temperature,
'PowerDemand': power_demand
})
# 划分训练集和测试集
train_data = data.sample(frac=0.8, random_state=42)
test_data = data.drop(train_data.index)
# 提取训练集和测试集的特征和目标变量
X_train = train_data[['Temperature']]
y_train = train_data['PowerDemand']
X_test = test_data[['Temperature']]
y_test = test_data['PowerDemand']
# 建模准备
model = LinearRegression()
# 建模训练
model.fit(X_train, y_train)
# 模型预测
y_pred = model.predict(X_test)
# 模型评估指标计算
mse = mean_squared_error(y_test, y_pred)
r2 = r2_score(y_test, y_pred)
print(f"均方误差 (MSE): {mse}")
print(f"决定系数 (R²): {r2}")
# 可视化结果
plt.scatter(X_test, y_test, label='实际数据')
plt.plot(X_test, y_pred, color='red', label='预测数据')
plt.xlabel('气温')
plt.ylabel('电力需求')
plt.legend()
plt.show()
# 模型调优（这里简单演示增加多项式特征来调优）
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
poly_features = PolynomialFeatures(degree=2)
X_train_poly = poly_features.fit_transform(X_train)
X_test_poly = poly_features.transform(X_test)
model_poly = LinearRegression()
model_poly.fit(X_train_poly, y_train)
y_pred_poly = model_poly.predict(X_test_poly)
mse_poly = mean_squared_error(y_test, y_pred_poly)
r2_poly = r2_score(y_test, y_pred_poly)
print(f"多项式模型均方误差 (MSE): {mse_poly}")
print(f"多项式模型决定系数 (R²): {r2_poly}")
# 可视化多项式模型结果
plt.scatter(X_test, y_test, label='实际数据')
plt.plot(X_test, y_pred_poly, color='green', label='多项式预测数据')
plt.xlabel('气温')
plt.ylabel('电力需求')
plt.legend()
plt.show()
8. 运行结果
