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扩展卢卡斯定理 前置芝士 卢卡斯定理，中国剩余定理 作用 和Lucas定理一样，只是 \(C_m^n\%p\) 中的 \(p\) 不一定是质数 结论 令 \(p=p_1^{k_1}*p_2^{k_2}*...*p_q^{k_q}\) 列出同余方程组 \[ \begin{cases}ans\equiv 阅读全文
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扩展中国剩余定理 前置芝士 中国剩余定理 作用 求同余方程余数无限制的通解。 推导过程 设 \(k-1\) 个方程解为 \(x\) ，令 \(m=\prod_{i=1}^{k-1}m_i\) （**注：**此处不是乘积，而是 \(lcm(m_1,m_2,...,m_{k-1})\)） 我们有 \(x 阅读全文
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扩展欧拉定理 前置芝士 欧拉定理 定义 对于a与m不一定互质的情况，有： \[ a^c~\equiv~\begin{cases}a^{c\mod\varphi(m)} &\gcd(a,m)~=~1 \\a^c &\gcd(a,m)~\neq~1~且~c~<~\varphi(m) \\ a^{c\mo 阅读全文
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拓展 BSGS 前置芝士？ 上个 \(BSGS\) 的没有写是因为可以水博客（大雾 作用 和 \(BSGS\) 一样，不过是 \(gcd(y,p)\not= 1\) 的情况 推导过程 \[ y^x\equiv z(mod~p) \] 令 \(d=gcd(y,p)\) 将方程改写为等式形式 \[ y^ 阅读全文
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求组合数（取模）的两种方法 两种公式配合Lucas定理使用更佳 Pascal公式打表 由Pascal公式，可知 \[ \begin{cases}C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k\\C_n^0=C_n^n=1\end{cases} \] 取二维数组 \(tC[][]\) ，初 阅读全文
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前置芝士 二项式定理（ 秦九韶算法（ 定义 设 \(P\) 为素数，\(a, b \in N^*\) ,并且 \[ a = a_kp^k + a_{k - 1}p^{k-1} + \dots + a_1p+ a_0 \\ b = b_kp^k + b_{k-1}p^{k-1} + \cdots + 阅读全文
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中国剩余定理 前置芝士 在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？”这个问题称为“孙子问题”，该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。 定义 中国剩余定理是一种用来求解🐖如 \[ \begin 阅读全文
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欧拉定理 前置芝士 欧拉函数$\varphi(n)$ 表示 $1$~\(n\) 中与 \(n\) 互质的数的个数 数学定义如下 \[ \varphi(n)=\sum\limits_{i=1}^n[gcd(i,n)==1] \] 欧拉函数是积性函数，即对于 \(\forall n,p\)，若$gcd( 阅读全文
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BSGS 前置芝士 \(Baby-Step-Giant-Step\) 算法，即大步小布算法，缩写为 \(BSGS\) 作用 解决类似 \(y^x\equiv z(mod~p)\)，给定 \(y,z,p>=1\) 求解 \(x\) 的问题 （普通的 \(BSGS\) 只能求解 \(gcd(y,p)=1 阅读全文