P3211 [HNOI2011]XOR和路径

洛谷传送门

Solution

我们可以发现这个题和游走很像（虽然游走是HNOI2013，这个是HNOI2011吧）

但是这个题是要求异或和，每一位是互不干扰的，再加上期望的线性性，所以考虑每一位单独计算。

我们设 \(f_i\) 表示从 \(i\) 到 \(n\) 路径这一位异或和为 \(1\) 的概率，那么我们可以显然的得到转移方程：

\[f_u=\sum_{v\in w_{u,v} 此位为 0} \frac {f_v}{d_u}+\sum_{v\in w_{u,v} 此位为 1} \frac {1-f_v}{d_u} \]

（其中 \(w_{u,v}\) 表示 \(\langle u,v\rangle\) 这条边的边权， \(d_u\) 表示 \(u\) 的度数，即与 \(u\) 相连的边数，包括自环）

前面的 \(\sum\) 表示要在 \(v\) 中找 \(0\) 的概率，后面的表示要在 \(v\) 中找 \(1\) 的概率。

我们发现这个方程是有后效性的，所以还要继续考虑。发现进一步转化可以得到：

\[-\sum_{v\in w_{u,v} 此位为 1}\frac 1{d_u}=-f_u+\sum_{v\in w_{u,v} 此位为 0} \frac {f_v}{d_u}-\sum_{v\in w_{u,v} 此位为 1} \frac {f_v}{d_u} \]

哦~这长得很像 \(n-1\) 元方程啊，而我们总共有 \(n-1\) 个方程，所以考虑用高斯消元求解。

（ 因为到达 \(n\) 的时候就停止了，所以 \(f_n=0\) ，在计算的时候不考虑）

再简单的提一下计算答案： 设当前位为 \(i\) ，那就 \(ans+=f_1\times 2^i\) 即可。

注意：一个自环只能增加一条边，重边在累加方程系数的时候都要算上。

时间复杂度为 \(O(n^3\log w)\)

完结撒花

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你不会以为这就完了吧(⊙_⊙)

为什么是从 \(u\) 到 \(n\) 逆推呢？我相信只有我一个蒟蒻感到疑惑，但是还是要说一下。

因为异或和不为 \(1\) 的概率是 \(1-f_u\) ，但是正推此时的含义是： \(1\) 到 \(u\) 异或和不为 \(1\) 的概率和从 \(1\) 无法走到 \(u\) 的概率；但是逆推的话， \(1-f_u\) 就还是走到 \(n\) ヾ(≧▽≦*)o

正式完结撒发。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define re register

using namespace std;
const int N=110;
const double eps=1e-9;
int n,m,head[N],cnt,d[N],pw[N];
double a[N][N],f[N],ans;
struct edge{
    int to,nxt,w;
}e[N*N<<1];

inline int read(){
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+(ch^48);ch=getchar();}
    return x*f;
}

inline void add(int u,int v,int w){
    e[++cnt].to=v;
    e[cnt].w=w;
    e[cnt].nxt=head[u];
    head[u]=cnt;
    d[v]++;
}

inline void Gauss(){
    for(re int i=1;i<n;i++)
        for(re int j=i+1;j<=n;j++){
            double tmp=a[j][i]/a[i][i];
            for(re int k=1;k<=n+1;k++) a[j][k]-=a[i][k]*tmp;
        }
    for(re int i=n;i;i--){
        f[i]=a[i][n+1]/a[i][i];
        for(re int j=i-1;j;j--) a[j][n+1]-=a[j][i]*f[i];
    }
}

int main(){
    n=read(); m=read();
    memset(head,-1,sizeof(head));
    pw[0]=1;
    for(re int i=1;i<=30;i++) pw[i]=pw[i-1]*2;
    for(re int i=1,u,v,w;i<=m;i++){
        u=read(); v=read(); w=read();
        add(u,v,w); if(u!=v) add(v,u,w);
    }
    for(re int i=0;i<=30;i++){
        memset(a,0,sizeof(a)); a[n][n]-=1.0;
        for(re int u=1;u<n;u++){
            a[u][u]=-1;
            for(re int j=head[u];j!=-1;j=e[j].nxt){
                int v=e[j].to;
                if(~e[j].w&pw[i]) a[u][v]+=1.0/d[u];
                else a[u][n+1]-=1.0/d[u],a[u][v]-=1.0/d[u];
            }
        }
        Gauss();
        ans+=f[1]*pw[i];
    }
    printf("%.3lf\n",ans);
    return 0;
}

小彩蛋：题目描述中的第一段的题也是真实出现的，就是介个。