范德蒙德卷积
形似：
\[\sum_{i=0}^k\binom ni\binom m{k-i}=\binom {n+m}k
\]
可以理解为在大小为 \(n\) 和 \(m\) 的两个堆中选择 \(k\) 个物品。
好像是）推论：
\[\sum_{i=1}^n\binom ni\binom {n}{i-1}=\binom {2n}{n-1}
\]
证明：
设 \(k=n-1\) ，则由第一个式子可得：
\[\sum_{i=0}^{n-1}\binom ni\binom n{n-1-i}=\binom {2n}{n-1}\\
\sum_{i=0}^{n-1}\binom ni\binom n{n-1-i}=\sum_{i=0}^{n-1}\binom ni\binom n{i+1}=\sum_{i=1}^{n}\binom ni\binom n{i-1}\\
\Rightarrow\sum_{i=1}^n\binom ni\binom {n}{i-1}=\binom {2n}{n-1}
\]
其他的推论：
\[\sum_{i=0}^n\binom ni^2=\sum_{i=0}^n\binom ni\binom n{n-i}=\binom {2n}n\\\sum_{i=0}^m\binom ni\binom mi=\sum_{i=0}^m\binom ni\binom m{m-i}=\binom {n+m}m
\]
