范德蒙德卷积

形似：

$$\sum_{i=0}^k\binom ni\binom m{k-i}=\binom {n+m}k$$

可以理解为在大小为 $n$ 和 $m$ 的两个堆中选择 $k$ 个物品。

好像是）推论：

$$\sum_{i=1}^n\binom ni\binom {n}{i-1}=\binom {2n}{n-1}$$

证明：

设 $k=n-1$ ，则由第一个式子可得：

$$\sum_{i=0}^{n-1}\binom ni\binom n{n-1-i}=\binom {2n}{n-1}\\ \sum_{i=0}^{n-1}\binom ni\binom n{n-1-i}=\sum_{i=0}^{n-1}\binom ni\binom n{i+1}=\sum_{i=1}^{n}\binom ni\binom n{i-1}\\ \Rightarrow\sum_{i=1}^n\binom ni\binom {n}{i-1}=\binom {2n}{n-1}$$

其他的推论：

$$\sum_{i=0}^n\binom ni^2=\sum_{i=0}^n\binom ni\binom n{n-i}=\binom {2n}n\\\sum_{i=0}^m\binom ni\binom mi=\sum_{i=0}^m\binom ni\binom m{m-i}=\binom {n+m}m$$