CF1327F AND Segments

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感谢同机房大神ql12345指导

Solution

因为位运算每一位之间是互不影响的，所以可以按位考虑然后将每一位的方案数相乘得到最终答案。

对于题目中的限制也可以按位拆成小限制，对于 \((l_i,r_i,x_i)\) ，如果 \(x_i\) 这一位上是 \(1\) ，那么第 \({l_i}\) 个数到第 \({r_i}\) 数的这一位也全得为 \(1\) 。

但是 \(x\) 这一位是 \(0\) 就不好考虑了，可以考虑DP。

先要预处理出来 \(pos\) 和 \(a\) 数组，其中 \(pos_i\) 为 \(i\) 之前最靠近 \(i\) 的 \(0\) 的位置至少要填在 \(pos_i\)， \(a_i\) 为第 \(i\) 个数这一位是否强制为 \(1\) 。

其中 \(pos\) 预处理为：如果 \(x_i\) 这一位为 \(0\) ， \(pos_{r_i+1}=\max(pos_{r_i+1},l_i)\) ，因为在 \((l_i,r_i)\) 这个区间中至少有一个 \(0\) ，所以如果要 \(r_i+1\) 之前全部满足条件，那么至少要在 \(l_i\) 放一个 \(0\) 。然后再 \(pos_i=\max(pos_i,pos_{i-1})\) 即可。

\(a\) 的预处理这里用的是差分，可以做到在 \(O(n+m)\) 的时间预处理出来。（详情看代码^o）

预处理完了，说DP。

设 \(f_{i,j}\) 表示现在到 \(i\) 位，其中最后一个 \(0\) 填在 \(j\) 且满足条件的方案数，有三种情况的转移：

1. 当 \(j<pos_i\) 时，因为无法满足 \(pos\) 的条件，所以 \(f_{i,j}=0\)
2. 当 \(pos_i\leq j<i\) 时，因为第 \(i\) 位只能填 \(1\) ，不然填 \(0\) 那么此时 \(j=i\) ，所以 \(f_{i,j}=f_{i-1,j}\)
3. 当 \(j=i\) 时，如果 \(a_i=1\) ，那么 \(f_{i,j}=0\) ，不然 \(f_{i,j}=\sum\limits_{x=pos_i}^{i-1}f_{i-1,x}\) ，因为 \(pos_i\) 到 \(i-1\) 的每一种填法都能满足。

我们发现第一维没有什么影响，可以考虑将数组 \(f_{i,j}\) 简化为 \(f_j\) ，因为 \(pos_i\) 是有单调性的，所以可以维护一个 \(sum\) ，及时更新。

时间复杂度： \(O(k\cdot(n+m))\)

Code

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long

using namespace std;
const int N=5e5+10,mod=998244353;
int n,k,m,l[N],r[N],x[N],f[N];
int pos[N],a[N];//pos表示i之前最后一个0的位置 a是这一位是否强制选1

inline int read(){
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+(ch^48);ch=getchar();}
    return x*f;
}

inline void add(int &x,const int y){ x=(x+y>=mod?x+y-mod:x+y);}
inline void sub(int &x,const int y){ x=(x<y?x-y+mod:x-y);}

inline void init(int p){    //p是你按位DP到哪一位了
    for(int i=1;i<=n+1;i++) pos[i]=a[i]=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        if((x[i]>>p)&1) ++a[l[i]],--a[r[i]+1];
        else pos[r[i]+1]=max(pos[r[i]+1],l[i]);
    for(int i=2;i<=n+1;i++)
        a[i]+=a[i-1],pos[i]=max(pos[i],pos[i-1]);
}

inline void dp(){
    for(int i=0;i<=n+1;i++) f[i]=0;
    f[0]=1;
    int sum=1,l=0;
    for(int i=1;i<=n+1;i++){
        while(l<pos[i]) sub(sum,f[l]),f[l]=0,++l;
        f[i]=a[i]?0:sum,add(sum,f[i]);
    }
}

int main(){
    n=read(),k=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++) l[i]=read(),r[i]=read(),x[i]=read();
    int ans=1;
    for(int p=0;p<k;p++){
        init(p);
        dp();
        ans=1ll*ans*f[n+1]%mod;
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}