CF468C Hack it!

Solution

可以发现当 $x\leq10^{18}$ 时， $f(x)+1=f(10^{18}+x)$ ，令 $g_x=\sum\limits_{i=1}^xf_i$ ，设 $g_{10^{18}}\equiv b\pmod a$ ，则 $l=1+a-b,r=10^{18}+a-b$ 。因为：

$$\begin{aligned}\sum\limits_{i=l}^rf_i&=g_r-g_{i-1}\\&=g_{10^{18}+a-b}-g_{a-b}\\&=g_{10^{18}}+(f_{10^{18}+1}-f_1)+\cdots+(f_{10^{18}+a-b}-f_{a-b})\\&=g_{10^{18}}+a-b\\&\equiv b+a-b\pmod a\\&\equiv0\pmod a\end{aligned}$$

（忽略背景）

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long

using namespace std;
ll l,r,a,INF=1e18;

int main(){
    scanf("%lld",&a);
    l=a-INF%a*9%a*9%a;
    r=l+INF-1;
    printf("%lld %lld\n",l,r);
    return 0;
}