P4655 [CEOI2017]Building Bridges

设 \(f_i\) 为将第 \(1\) 根和第 \(i\) 根柱子相连的代价，则有状态转移方程：​

\[f_i=min\{f_j+\sum\limits_{k=j+1}^{i-1}w_k+(h_i-h_j)^2\} \]

我们可以令 \(sum_i=\sum\limits_{k=1}^iw_k\) ，这样就可以将 \(\sum\limits_{k=j+1}^{i-1}w_k\) 写作 \(sum_{i-1}-sum_j\) ，得：

\[f_i=min\{f_j+sum_{i-1}-sum_j+(h_i-h_j)^2\} \]

展开 \((h_i-h_j)^2\) 得：

\[f_i=min\{f_j+sum_{i-1}-sum_j+h_i^2-2h_ih_j+h_j^2\} \]

整理可得：

\[f_i=min\{(-2h_ih_j+f_j-sum_j+h_j^2)+(sum_{i-1}+h_i^2)\} \]

看上去是不是很像斜率优化DP的样子

虽然是李超线段树板子题，不过我们用斜率优化做

观察一下可以发现，若 \(i\) 确定，\((sum_{i-1}+h_i^2)\) 为常数项，可以忽略。

于是就变成了对于一个确定的 \(i\)，求 \(\min\{-2h_ih_j+f_j-sum_j+h_j^2\}\)

若决策 \(j\) 优于决策 \(k\) 则

\[-2h_ih_j+f_j-sum_j+h_j^2<-2h_ih_k+f_k-sum_k+h_k^2 \]

化简得

\[(f_j-sum_j+h_j^2)-(f_k-sum_k+h_k^2)<2h_i(h_j-h_k) \]

即

\[\dfrac{(f_j-sum_j+h_j^2)-(f_k-sum_k+h_k^2)}{2(h_j-h_k)}<h_i \]

令 \(Y(i)=f_i-sum_i+h_i^2,X(i)=2h_i\) ，则

\[\dfrac{Y(j)-Y(k)}{X(j)-X(k)}<h_i \]

因为 \(h_i\) 并不是单调的，所以需要CDQ分治来维护

用splay维护动态凸包也不拦你(因为我不会)

我们考虑将一个单调队列分为左右两个，然后递归处理，发现递归到长度为1时，可以像普通斜率优化一样建点。

回溯时，因为左边对右边会有影响，所以先将左边的状态插入单调队列，再更新右边的状态。

时间复杂度：\(O(n\log^2n)\)