求组合数（取模）的两种方法

求组合数（取模）的两种方法

两种公式配合Lucas定理使用更佳

Pascal公式打表

由Pascal公式，可知

$$\begin{cases}C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k\\C_n^0=C_n^n=1\end{cases}$$

取二维数组 $tC[][]$ ，初始化 $tC[0][0] = 1$; 打表即可。代码最简单，如下：

const int maxn(1005), mod(100003);
int tC[maxn][maxn]; //tC 表示 table of C

inline int C(int n, int k)
{
    if(k > n) return 0;
    return tC[n][k];
}

void calcC(int n)
{
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        tC[i][0] = 1;
        for(int j = 1; j < i; j++)
            tC[i][j] = (C(i - 1, j - 1) + C(i - 1, j)) % mod;
        tC[i][i] = 1;
    }
}

计算 $C_n^k$ 返回内联函数 $C_n^k$ 的值即可。

当然我们知道 $C_n^k=C_n^{n−k}$，所以上面的代码有很多空间和时间的浪费。可以将 $tC[][]$ 二维数组转化为一维数组存储，同时，当 $j>i/2$ 时终止第二层循环，新代码如下：

const int maxn(10005), mod(100003);
int tC[maxn * maxn]; //tC 表示 table of C

inline int loc(int n, int k) // C(n, k)返回在一维数组中的位置
{
    int locate = (1 + (n >> 1)) * (n >> 1); // (n >> 1) 等价于 (n / 2)
    locate += k;
    locate += (n & 1) ? (n + 1) >> 1 : 0; // (n & 1) 判断n是否为奇数
    return locate;
}

inline int C(int n, int k)
{
    if(k > n) return 0;
    k = min(n - k, k);
    return tC[loc(n, k)];
}

void calcC(int n)
{
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        tC[loc(i, 0)] = 1;
        for(int j = 1, e = i >> 1; j <= e; j++)
            tC[loc(i, j)] = (C(i - 1, j) + C(i - 1, j - 1)) % mod;
    }
}

显然，由于空间的限制，pascal打表的方式并不适合求取一些比较大的组合数。

所以第二种出现了

逆元法

因为 $C_n^m=\dfrac{n!}{m!(n-m!)}$ ，所以可以预处理1到n的阶乘对mod取模的结果，然后用“拓展欧几里得算法”或“费马小定理”或“欧拉定理”求 $m!$ 和 $n!$ 的逆元，然后相乘即可（乘的过程中记得取模）