中国剩余定理

中国剩余定理

前置芝士

在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？”这个问题称为“孙子问题”，该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。

定义

中国剩余定理是一种用来求解🐖如

\[\begin{cases}x\equiv a_1~(mod~m_1)\\x\equiv a_2~(mod~m_2)\\......\\x\equiv a_k~(mod~m_k)\end{cases} \]

形式的同余方程组的定理，其中，\(m_1,m_2,...,m_k\) 为两两互质的整数，我们的目的，是找出\(x\)的最小非负整数解。

推导过程

设 \(M=\prod\limits_{i=1}^km_i,M_i=\frac{M}{m_i},M_it_i\equiv 1~(mod~m_i)\) ，其中 \(1\le i\le k,t_i\) 为 \(M_i\) 在模 \(m_i\) 意义下的逆元（不会的下面会介绍扩展欧几里得的方法）。

所以我们可以构造出来一个解 \(x=\sum\limits_{i=1}^ka_iM_it_i\)

由此，任意解 \(x_0\) 即为 \(x+k*M\) ，最小整数解 \(x_{min}=x_0\%M\)

证明：

易证，在第 \(i\) 个同余方程中，对于 \(\forall~j\in [i,k]\) ，当 \(i\not=j\) 时，有

\[a_jM_jt_j\equiv 0~(mod~m_i) \]

因为 \(M_k\) 里面是有 \(m_i\) 的，而当 \(i=j\) 时，有

\[a_iM_it_i\equiv a_i~(mod~m_i) \]

因此，\(\sum\limits_{i=1}^ka_iM_it_i\equiv a_i~(mod~m_i)\) ，满足题意

证毕

逆元（ \(ex\) 欧几里得）

扩展欧几里得用于在已知\(a,b\)的情况下，求解出一组解 \((x,y)\)，使之满足 \(ax+by=gcd(a,b)=d\) 。此处，我们使用扩展欧几里得求逆元。

标准思路：

\[ax+by=gcd(a,b)\\gcd(a,b)=gcd(b,a\%b) \]

下式代入上式，并设

\[bx'+a\%b*y'=gcd(a,a\%b) \]

又因为

\[a\%b=a-\lfloor\frac ab\rfloor*b \]

所以

\[a*y'+b*(x'-\lfloor\frac ab\rfloor*y')=gcd(a,b) \]

故原方程中

\[x=y',y=x'-\lfloor\frac ab\rfloor*y' \]

此外，在开篇的方程组中，我们要求的是\(M_i\)在模\(m_i\)意义下的逆元，而之前我们设\(M_i=\frac M{m_i}\)，因此\(M_i\)与\(m_i\)互质，\(gcd(M_i,m_i)=1\)。在这里我们把\(M_i\)当做\(a\)，把\(m_i\)当做\(b\)，即\(ax+by=1\)，移项得\(ax=1-by\)，显而易见\(ax\equiv 1~(mod~b)\)，因此 \(x\) 即我们要求的逆元。

模板题

题目

给定\(n\)组非负整数 \(a_i,b_i\) ，求解关于 \(x\) 的方程组的最小非负整数解。

\[\begin{cases}x\equiv b_1(\mod~a_1)\\x\equiv b_2(\mod~a_2)\\...\\x\equiv b_n(\mod~a_n)\end{cases} \]

其中 \(a_i,a_j\) 互质（去掉这句话就是扩展版）

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define ll long long
ll n,a[16],b[16],Mi[16],M=1,ans;

inline int read(){
    int io=0;char in=getchar();
    while(in<'0'||in>'9')in=getchar();
    while(in>='0'&&in<='9')io=(io<<3)+(io<<1)+(in^'0'),in=getchar();
    return io;
}

void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
	if(b==0) {x=1;y=0;return ;}
	exgcd(b,a%b,x,y);
	int z=x;x=y,y=z-y*(a/b);
}

int main(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		a[i]=read();
		b[i]=read();
		M*=a[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		Mi[i]=M/a[i];
		ll x=0,y=0;
		exgcd(Mi[i],a[i],x,y);//逆元  
		ans+=b[i]*Mi[i]*(x<0?x+a[i]:x); 
	}
	printf("%lld\n",ans%M);
	return 0;
}