随笔分类 - 数学
摘要：设计点灯游戏前的总结 因c语言程序设计实践课，恰好选择了对点灯游戏的实现，则我们先来归纳如何去求点灯游戏的方案。 零——前置芝士 点灯游戏简介 一层大楼共有 $n×n$ 个房间，每个房间都有一盏灯和一个按钮。按动一个房间的按钮后，这个房间和周围四个相邻的房间的灯的状态全部都会改变（由暗变为亮或者亮变
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摘要：洛谷传送门 Solution 看到题不要慌，不要因为是期望而慌张。像我一样 我们一步一步分析(●'◡'●) 首先，根据贪心的思想，期望经过次数多的边我们给它更小的编号。 那么现在就想怎么求出每条边的期望经过次数？ 经过一番思考，发现每条边只与它的两个点及点的度数有关，用式子写一下就是： \[ g_e
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摘要：洛谷传送门 Solution 我们可以发现这个题和游走很像（虽然游走是HNOI2013，这个是HNOI2011吧） 但是这个题是要求异或和，每一位是互不干扰的，再加上期望的线性性，所以考虑每一位单独计算。 我们设 \(f_i\) 表示从 \(i\) 到 \(n\) 路径这一位异或和为 $1$ 的概率
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摘要：形似： \[ \sum_{i=0}^k\binom ni\binom m{k-i}=\binom {n+m}k \] 可以理解为在大小为 \(n\) 和 \(m\) 的两个堆中选择 \(k\) 个物品。 好像是）推论： \[ \sum_{i=1}^n\binom ni\binom {n}{i-1}=
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摘要：吐槽一句，这题是绿的就离谱。 题意 给一条直线的斜率 \(a\) 和截距 \(b\) ，和某一时刻 \(n\) 个在直线上的点的横坐标，还有每个点沿坐标轴的速度 \(v_x,v_y\) 。 问这些点在 \((-\infty,+\infty)\) 的时间内的碰撞次数。 Solution 设某两个点在时
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摘要：洛谷传送门 CF传送门 今天ChPu437大神讲了这个题，我也来写篇题解加深理解。 Solution 看题，什么又是方案数？我反手就是一个计数DP 我们转化题意，可以将一个人旧的座位和新的座位假装建一条边 那么这就是一张图，并且可能有多个连通块 因为每个连通块之间是互不影响的，所以我们可以分开考虑然
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摘要：洛谷传送门 CF传送门 题意 给你一个 \(n\) 个点的图，其中有 \(m\) 条线段。求该图形是否为旋转对称图形。 Solution 我们设旋转 \(x\) 个点可以和原图形重合，那么 \(k\cdot x\) 个点也可以 反过来，已知旋转一圈就是原图形，此时旋转了 \(n\) 个点，我们只要找
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摘要：呜呜呜，本蒟蒻第一次做卡特兰数，实在是太菜了。写一个题解加深记忆。 Solution 首先，题里面说明 \(a_2<a_4< \cdots <a_{2n}\) 和 \(a_{2i-1}<a_{2i}\) ，可得偶数位上的数比它前面任意一个数都要大。 那么我们可以将题意转化为：将 $1$ ~ $2n$
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摘要：Solution 一句话题意：求架子上和 \(x\) 互质的数的 个数=总个数-和 \(x\) 不互质的数的个数。 那么求和 \(x\) 不互质的数就是经典容斥问题了。 因为所有数都能以一个 \(\prod p_i^{k_i}\) 的形式表示出来，并且一个数的质因子个数最多有七个(因为 $2\cdo
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摘要：Solution 可以设横向切了 \(x\) 次，则纵着切了 \(k-x\) 刀，为使最小值最大化，所以要切的均匀。那么 \(ans=\left\lfloor\dfrac n{x+1}\right\rfloor\cdot\left\lfloor\dfrac m{k-x+1}\right\rfloor
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摘要：Solution 这个题经过一番思考，发现前面一位和后面一位之间是不会相互影响的，也就是各自的贡献是独立算的。 那我们就直接通过一些排列组合的方式来求出答案即可。 刚刚我提到了贡献，所以我们可以对这个括号序列的每一位进行计算，最后相加。然后发现因为他们是成对匹配的，当你算左括号的时候，右括号已经被算
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摘要：我这里和别人不一样的是取模加和乘（我觉得这个东西很好，可能会快一点？ Solution 首先，它让我们算方案数，所以我们设一个数组 \(F(x)\) 表示完美数恰好为 \(x\) 的排列数，又由这熟悉的恰好，可以再设一个数组 \(G(x)\) 表示完美数至少为 \(x\) 的排列数，那么显然可以得到
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摘要：Solution 看题和 \(\gcd\) 有关系，所以我们可以先考虑一下质数，然后发现对于质数 \(x\) ，当他不 \(lonely\) 即满足条件的时候，是 \(x^2\) 出现的时候，因为 \(x+1>x,x+x>1\) 。 现在考虑合数，分两种情况，一种是形似 \(p^2\) 的( \(p
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摘要：Solution 我们考虑在第 \(i\) 步时，如果此时是 \(Allen\) ，他会将 \(x_s=t\) ( $0\leq s\leq n,0\leq t\leq 1$ )，此时的 \(v_{s,t}\) 为最大，那么 \(v_{v,1-t}\) 就是最小的，也就是 \(Bessie\) 所做
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摘要：题意 yft所在的学校有 \(m\) 个社团，他所在的社团编号是 \(h\) 。现在yft受wjx命令需要从这 \(m\) 个社团中随机挑出 \(n\) 个人（\(n\) 个人包括他自己），请问挑出的人存在和yft同社团的概率是多大。 Solution 我们先考虑如果正着去选择可能的情况，\(\cd
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摘要：Solution 将图经过小学就学了的反转转化成一条斜率为 $1$ 的直线，那么有解就是经过了 \(a\) 个 \(n\) 的同时经过了 \(b\) 个 \(m\) ，又因为起点 \(S(x,y)\) 也经过这条直线，所以 \(y\) 轴交点为 \((0,y-x)\) 。 然后就可得到： \[ an
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摘要：Solution 前置知识 因为 \(\gcd(a,b)|a,\gcd(a,b)|b,\gcd(a,b)|a+b\) ，而且 \(\gcd(a,b,a+b)\leq \min(a,b,a+b)\leq a,b\leq a+b\) ，可以得到 \(\gcd(a,b)=\gcd(a,b,a+b)\) 。
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摘要：我这个题解可能好理解一些。o(￣▽￣)o Solution 我开始的思路：因为 \(x\) 为质数，那 \(\gcd\) 肯定是 \(x^k\) 啊！不就是找一下 \(a_i\) 的最小值，用 \(sum\) 一减最后来个快速幂吗，然后样例 $1$ 就干没我了。≧ ﹏ ≦ 然后发现在提取了最小的
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摘要：我们知道 $1^{-1}\equiv 1\pmod p$ ，然后我们设 \(p=k\cdot i+r,~r<i,~1<i<p\) ，再将这个式子放到 \(\mathrm{mod}\,\,p\) 意义下，就会得到： \[ k\cdot i+r\equiv 0\pmod p \] 两边同时乘上 \(i^
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摘要：题意 有 \(a\) 和 \(b\) 两个长度为 \(n\) 的序列，其中元素两两配对， \(a>b\) 的配对需比 \(a<b\) 的配对多恰好 \(k\) 个，求方案数 Solution 我们设 \(f_{i,j}\) 为前 \(i\) 个 \(a\) 中，选了 \(j\) 组 \(a>b\)
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