HDU_5690_快速幂，同余的性质

All X

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Problem Description

 

F(x,m) 代表一个全是由数字x组成的m位数字。请计算，以下式子是否成立：

F(x,m) mod k ≡ c

 

 

Input

 

第一行一个整数T，表示T组数据。
每组测试数据占一行，包含四个数字x,m,k,c

1≤x≤9 

1≤m≤10^10

0≤c<k≤10,000

 

 

Output

 

对于每组数据，输出两行：
第一行输出："Case #i:"。i代表第i组测试数据。
第二行输出“Yes” 或者 “No”，代表四个数字，是否能够满足题目中给的公式。

 

 

Sample Input

 

3

1 3 5 2

1 3 5 1

3 5 99 69

 

 

Sample Output

 

Case #1:

No

Case #2:

Yes

Case #3:

Yes

 

 同余的性质还需要熟悉。

思路：

 

m个x组成的数可以表示为x*(1+10+10^²+...+10^^m-1)=x*(10^^m-1)/9;

即x*(10^^m-1)/9%k==c?    x*(10^^m-1)%(9*k)==9*c

 

同余的性质：

　　(1)自反性：a≡a(mod m).

　　(2)对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m).

　　(3)传递性：若a≡b(mod m),b≡c(mod m),则a≡c(mod m).

 

   若a1≡b1(mod m),a2≡b2(mod m),

　　(4)　则a1+a2≡b1+b2(mod m)

　　  推论：若a+b≡c(mod m),则a≡c-b(mod m)

　　(5)  a1a2≡b1b2(mod m).

　　　推论1：若a≡b(mod m),则ak≡bk(mod m),其中k为整数.

　　   推论2：若a≡b(mod m),则a^n≡b^n(mod m),其中n为自然数.

 

 

　　(6)  若ac≡bc(mod m),(m,c)=d, 则a≡b(mod m/d).

　　　　特别地，当(m,c)=1是,有a≡b(mod m).

　　(7)  若a≡b(mod m),则ak≡bk(mod mk),其中k为大于零的整数；

　　　　 若a≡b(mod m),d为a,b及m 的任一正公约数,则a/d≡b/d(mod (m/d)).

　　(8)  a≡b(mod mi),(1<=i<=n),则a≡b(mod [m1,m2,…,mn]).

　　(9)  若a≡b(mod m),且d|m,则a≡b(mod d)

 

此题用到了第(7)条性质。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
#define LL long long

LL powMod(LL base,LL m,int mod)
{
    LL res=1;
    while(m)
    {
        if(m&1)
            res=(res*base)%mod;
        base=(base*base)%mod;
        m>>=1;
    }
    return(res%mod);
}

int main()
{
    int x,k,c,cas=1;
    LL m;
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%I64d%d%d",&x,&m,&k,&c);
        //cout<<"*"<<endl;
        int MOD=9*k;
        int tmp=powMod(10,m,MOD);
        //cout<<tmp<<endl;
        tmp=(tmp*x)%MOD;
        tmp-=(x%MOD);
        //cout<<tmp<<endl;
        printf("Case #%d:\n",cas++);
        if(tmp==9*c)
            printf("Yes\n");
        else
            printf("No\n");
    }
    return 0;
}