HDU_5833_高斯消元

参考自：http://www.cnblogs.com/flipped/p/5771492.html

 

自己做的时候不知道如何求种数。看了题解，感觉思路灰常巧妙。同时也感觉这是一道好题。

精髓在于转化为线性方程组。

求素数的思想，和高斯消元需要多加熟悉。

 

300个最大质因数小于2000的数，选若干个它们的乘积为完全平方数有多少种方案。

合法方案的每个数的质因数的个数的奇偶值异或起来为0。

比如12=2^2*3，对应的奇偶值为01（2的个数是偶数为0，3的个数是奇数为1），3的对应奇偶值为01，于是12*3是完全平方数。

然后异或方程组就是：

a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a_1nx_n=0

a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a_2nx_n=0

...

a_n1x₁+a_n2x₂+...+a_nnx_n=0

a_ij：第i个质数（2000内有303个质数）在第j个数里是奇数个则为1，否则为0。

x_i：第i个数（最多300个数）被选则为1，否则为0。

求出有多少种解即可。（异或方程组高斯消元求秩，然后解就有2^(n-rank)种，减去全为0的解）

 

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define LL long long
#define mod 1000000007

const int N=2000;
const int M=310;

int prime[N+2],cnt;
int n,t,mat[M][M];
LL a[M];

void getPrime()   //求2000以内的所有质数
{
    for(int i=2; i<=N; i++)
    {
        if(!prime[i])
            prime[++cnt]=i;
        for(int j=1; j<=cnt&&prime[j]<=N/i; j++)
        {
            prime[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0)
                break;
        }
    }
}

int Rank(int c[][M])   //高斯消元求方程组的秩（线性表换将矩阵转化为上阶梯形矩阵）
{
    int i=0,j=0,k,r,u;
    while(i<=cnt&&j<=n)
    {
        r=i;
        while(c[r][j]==0&&r<=cnt) r++;
        if(c[r][j])
        {
            swap(c[i],c[r]);
            for(u=i+1; u<=cnt; u++)
                if(c[u][j])
                    for(k=i; k<=n; k++)
                        c[u][k]^=c[i][k];
            i++;
        }
        j++;
    }
    return i;
}

int solve()
{
    memset(mat,0,sizeof(mat));
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=cnt; j++)
        {
            LL tmp=a[i];
            while(tmp%prime[j]==0)
            {
                tmp/=prime[j];
                mat[j][i]^=1;
            }
        }
    int b=n-Rank(mat);
    LL ans=1,k=2;
    while(b)       //快速幂
    {
        if(b&1)
            ans=ans*k%mod;
        k=k*k%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans-1;
}

int main()
{
    int cas=1;
    getPrime();

    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%I64d",&a[i]);//cout<<"*";
        printf("Case #%d:\n%d\n",cas++,solve());
    }
}