计组_海明校验码

 

原理：

在数据中加入几个校验码,并把数据的每一个二进制位分配在几个奇偶校验组中.

设:校验位的个数为r,能表示2^r个信息,1个表示“没错误”, 2^r -1个指出错误发生在哪一位.

  k= 2^r –1-r个信息可用于纠正数据位.

　　2^r≥k+r+1

若要检测并纠正一位错,同时发现两位错,r,k应满足下列关系: 2^r-1≥k+r      (见表3.8)

 

校验位和数据位是如何排列的

    校验位排列在  2^(i–1) (i =0,1,2,…)的位置上

    例：有一个编码 为D4D3D2D1,由此生成一个海明码

            7      6      5     4    3     2    1                                          

            D4      D3      D2     P3      D1      P2      P1

                                        2^2             2^1      2^0

          有一字节的信息需生成海明码

            D8 D7 D6 D5 P4 D4 D3 D2 P3 D1 P2 P1

                                 8                  4       2   1

 

海明码的校验位Pi和数值位Di的关系

（每个海明码的位号要等于参与校验它的几个检验位的位号之和。 ）

–例：有一个编码为1011

 

 

P3= D4⊕D3 ⊕D2       

 0 =  1  ⊕ 0  ⊕ 1

P2= D4 ⊕D3 ⊕D1              

 0 =  1  ⊕ 0  ⊕ 1

P1 = D4 ⊕D2 ⊕D1

 1 =  1  ⊕ 1  ⊕ 1              

 

最后 海明码为1010101

7=4+2+1    6=4+2    5=4+1  3=2+1

 

设 海明校验码共m位(m=K+r),形如:

海明码编码规律通常是:

1.校验位与数据位之和为m,每个校验位Pi在被分在位号2^(i-1)的位置,其余数据位由低到高排列.

2.海明码的每一位Hi由多个校验位校验,关系是:被校验的每一位的位号等于校验它的各校验位位号之和.

按上述规律讨论一个字节的海明码.

  D8D7D6D5 D4D3D2D1

8位二进制数,k=8,根据2^r-1≥k+r , r应为5,m=13

•海明码可表示为:H13H12……H2H1

1.校验位与数据位之和为m,每个校验位Pi被分在位号2^(i-1)的位置,   P5~P1对应H13,H8,H4, H2 H1

其余为数据位,形如:

  H13  H12  H11  H10  H9   H8   H7  H6  H5  H4  H3  H2  H1

  P5    D8    D7    D6    D5   P4   D4  D3   D2  P3  D1  P2   P1

  13     4      1      2      1     8     1    2     1    4    1    2    1

           8    2,8     8      8           2,4  4     4          2   

每一位的位号等于校验它的各校验位位号之和.

P1参与了D1 D2 D4 D5 D7的校验

P2参与了D1 D3 D4 D6 D7的校验

P3参与了D 2 D3 D4 D8的校验

由此,可以找出有关数据位形成Pi值偶校验的结果。

P1=D1⊕ D 2 ⊕ D4 ⊕ D5 ⊕ D7

P2 =D1 ⊕ D3 ⊕ D4 ⊕ D6 ⊕ D7

P3 =D 2 ⊕ D3 ⊕ D4 ⊕ D8

P4 =D 5 ⊕ D6 ⊕ D7 ⊕ D8

如果要分清是两位出错还是一位出错，还要补充一个P5总校验位。使：

P5=D1⊕D2⊕D3⊕D4⊕D5⊕D6⊕D7⊕D8⊕P4⊕P3

      ⊕P2⊕P1

由此,可以得出偶校验组。

S1= P1⊕ D1⊕ D 2 ⊕ D4 ⊕ D5 ⊕ D7

 S2= P2⊕D1 ⊕ D3 ⊕ D4 ⊕ D6 ⊕ D7

S3= P3⊕ D 2 ⊕ D3 ⊕ D4 ⊕ D8

S4= P4⊕ D 5 ⊕ D6 ⊕ D7 ⊕ D8

S5= P5⊕P4⊕P3⊕P2⊕ P1⊕D1⊕D2⊕D3⊕D4⊕D5⊕D6⊕D7⊕D8

S1 ~ S5能反映出13位海明码的出错情况.

 

S1= P1⊕ D1⊕ D 2 ⊕ D4 ⊕ D5 ⊕ D7

S2= P2⊕D1 ⊕ D3 ⊕ D4 ⊕ D6 ⊕ D7

S3= P3⊕ D 2 ⊕ D3 ⊕ D4 ⊕ D8

S4= P4⊕ D 5 ⊕ D6 ⊕ D7 ⊕ D8

S4 ~ S1为全0,说明没错. S4 ~ S1不为全0,说明有错. S5=1说明1位出错,而S5=0说明2位错，不再有效，且不能查出是哪2位出错。

S4 ~ S1的编码值正好等于出错的海明码的位号.如:1100和1011,分别表示H12(D8)和H11(D7)出错。

 

如果 S4 ~ S1中仅有一个不为0,则表示校验位出错. S1≠0时P1(即H1)出错; S2≠0时P2(即H2)出错; S3≠0时P3(即H4)出错; S4≠0时P4(即H8)出错.

如果S4 ~ S1中有2个或2个以上不为0，则表示有1位数据出错（两位[指r=4时]或者两位以上数据同时出错则检查不出来）。 S4 ~ S1的编码值正好等于出错的海明码的位号.如:1100和1011,分别表示H12(D8)和H11(D7)出错。

假设S1 、 S4不为0， S2 、 S3为0，则说明P1和P4两个校验位出错，查公式，在S1和S4中同时出现而在S2和S3中不出现的数据仅有D5一个，故D5出错。或者查表， P1对应H1 ， P4对应H8 ，出错的海明码位号=1+8=9，即H9出错， H9对应D5 。