KM算法(Kuhn-Munkres)

算法理论基础：

可行顶点标号

用l(v)表示顶点v的标号，w(uv)表示边(u,v)的权，对于赋权二分图G=(X,Y),若对每条边e=xy，均有l(x)+l(y)>=w(xy),则称这个标号为G的一个可行顶点标号。

赋权二分图的可行顶点标号总是存在，一种平凡的可行顶点标号是:l(v)=max w(vy),v∈X y∈Y

　　　　                                                                            l(v)=0,v∈Y

相等子图

设G是一个赋权二分图，l是G的可行顶点标号，边(u,v)上的权为w(uv)。令El={xy∈E(G)|l(x)+l(y)=w(xy)},G中以El为边集的生成子图称为G的l相等子图，记为Gl，注意Gl　   的顶点集与G的顶点集相同。

 

定理

设l是赋权二分图G的一个可行顶点标号，若相等子图有Gl有完美匹配M*，则M*是G的最大权完美匹配。

　　

基本原理

该算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点Xi的顶标为A[ i ]，顶点Yj的顶标为B[ j ]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立。

 

KM算法的正确性基于以下定理：

若由二分图中所有满足A[ i ]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。

首先解释下什么是完备匹配，所谓的完备匹配就是在二部图中，X点集中的所有点都有对应的匹配且Y点集中所有的点都有对应的匹配，则称该匹配为完备匹配。

这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。

初始时为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[ i ]为所有与顶点Xi关联的边的最大权，B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。

我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d，Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：

1）两端都在交错树中的边(i,j)，A[ i ]+B[j]的值没有变化。也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。

2）两端都不在交错树中的边(i,j)，A[ i ]和B[j]都没有变化。也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。

3）X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图，现在仍不属于相等子图。

4）X端在交错树中，Y端不在交错树中的边(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所减小。也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。

5)到最后，X端每个点至少有一条线连着，Y端每个点有一条线连着，说明最后补充完的相等子图一定有完备匹配。（若由二分图中所有满足A[ i ]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。）

现在的问题就是求d值了。为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立，且至少有一条边进入相等子图，d应该等于：

Min{A[ i ]+B[j]-w[i,j] | Xi在交错树中，Yi不在交错树中}。

 

时间复杂度

以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法，时间复杂度为O(n^4)——需要找O(n)次增广路，每次增广最多需要修改O(n)次顶标，每次修改顶标时由于要枚举边来求d值，复杂度为O(n^2)。

 

基本流程

(1)初始化可行顶标的值；

(2)用匈牙利算法寻找完备匹配；

(3)若未找到完备匹配则修改可行顶标的值；

(4)重复(2)(3)直到找到相等子图的完备匹配为止；

参考自：http://baike.baidu.com/view/739278.htm