POJ_3041_Asteroids

 

 

参考自： http://user.qzone.qq.com/289065406/blog/1299322465

 

解题思路：

 

把方阵看做一个特殊的二分图（以行列分别作为两个顶点集V1、V2，其中| V1|=| V2|）

 

然后把每行x或者每列y看成一个点，而障碍物(x,y)可以看做连接x和y的边。按照这种思路构图后。问题就转化成为选择最少的一些点(x或y)，使得从这些点与所有的边相邻，其实这就是最小点覆盖问题。

 

再利用二分图最大匹配的König定理：

最小点覆盖数 = 最大匹配数

（PS：最小点覆盖：假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边，你需要选择最少的点来覆盖图的所有的边。）

  

因此本题自然转化为求 二分图的最大匹配 问题

 

 

求最大匹配的一种显而易见的算法是：先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。但是这个算法的时间复杂度为边数的指数级函数。

 

因此，需要寻求一种更加高效的算法——用增广路求最大匹配的方法（匈牙利算法）

 

 

增广路的定义(也称增广轨或交错轨)：

 

若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。

 

 

 由增广路的定义可以推出下述三个结论：

　1、P的路径个数必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。

   2、将M和P进行取反操作可以得到一个更大的匹配M’

      （反操作：把P中的 匹配边 与 非匹配边 互换）

   3、M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径P

 

匈牙利算法轮廓：

　　(1)置M为空

　　(2)找出一条增广路径P，通过异或操作获得更大的匹配M’代替M

　　(3)重复(2)操作直到找不出增广路径为止

 

 代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define Del(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
int map[505][505],vis[505],link[505];
int n,k;

bool dfs(int x)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(map[x][i]==1&&vis[i]==0)
    {
        vis[i]=1;
        if(link[i]==-1||dfs(link[i]))
        {
            link[i]=x;
            return true;
        }
    }
    return false;
}

void solve()
{
    int ans=0;
    Del(link,-1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        Del(vis,0);
        if(dfs(i))
            ans++;
    }
    printf("%d\n",ans);
}

int main()
{
    int r,c;
    scanf("%d%d",&n,&k);
    Del(map,0);
    while(k--)
    {
        scanf("%d%d",&r,&c);
        map[r][c]=1;
    }
    solve();
    return 0;
}