欧几里得算法（含严谨证明）

gcd(gong chan dang)(greatest common divisor) 最大公约数，指两个整数所有公共约数中最大的。

首先先上结论，求最大公约数，我们可以通过递归gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，gcd(a,0)=a计算，复杂度是logn

很明显，这个伟大的结论gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，就是著名的欧几里得公式。

那么怎么证，其实还挺简单的。我们把证明分为两步骤：

　　　　1、证明gcd(a,b)是b,a%b的一个公约数

　　　　2、证明这个公约数是最大的。

1、我们设gcd(a,b)=d，再令a=k1*d,b=k2*d.

     我们再设，a=k*b+c（也就是a除以b商k余c），那么c就是余数，也就是a%b.

     讲上面那个式子移项，得到c=a-k*b，然后再把a=k1*d,b=k2*d，这两个式子里的a、b带入式子，得到:

     c=k1*d-k*k2*d,在提取公因数d，得到c=(k1-k*k2)*d.这样就说明，c，也就是a%b有d这个约数，因为开始我们设b也有d这个约数，所以gcd(a,b)是b，a%b的一个公约数。

2、现在知道了它是一个公约数，那么怎么证它是最大的？（其实感性分析，a%b都变小了，公约数不可能更大呀！）

　　但是术学是一门严谨的学科，我们要严谨证明。我们知道，c（a%b）=（k1-k*k2）*d,b=k2*d，我们只需要证明k1-k*k2、k2互质就好了。

      这里可以用到反证法：我们假设k1-k*k2=q*t,k2=p*t,并且t>1（也就是那两个不互质）。

       我们将前面那个式子移项，得到k1=q*t+k*k2,再把这个k1代到最开始的a=k1*d，得到a=（q*t+k*k2）*d，再利用乘法分配律，得到：

 　　a=q*t*d+k*k2*d，我们这时发现，k2*d不就是最开始的b吗？，将其带入，得到：a=q*t*d+b*d.

  　  这时，我们再把k2=p*t代入开始的b=k2*d,得到b=p*t*d，再把这个式子代到a=q*t*d+b*d.得到了：a=q*t*d+p*t*d.提取公因数：a=(q+p)*t*d

 　　现在，再和b=p*t*d比较，发现他们的最大公因数变成了t*d和开始矛盾，所以假设不成立，反证成功！

好吧，还是贴一下求最大公约数的代码吧

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define REP(i,k,n)  for(int i=k;i<=n;i++)
#define in(a) a=read()
using namespace std;
inline int read(){
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar())
        if(ch=='-')
            f=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar())
        x=x*10+ch-'0';
    return x*f;
}
inline int gcd(int a,int b){
    if(b==0)  return a;
    return gcd(b,a%b);
}
int main(){
    int a,b;
    in(a),in(b);
    cout<<gcd(a,b);
}