欧几里得算法(含严谨证明)
gcd(gong chan dang)(greatest common divisor) 最大公约数,指两个整数所有公共约数中最大的。
首先先上结论,求最大公约数,我们可以通过递归gcd(a,b)=gcd(b,a%b),gcd(a,0)=a计算,复杂度是logn
很明显,这个伟大的结论gcd(a,b)=gcd(b,a%b),就是著名的欧几里得公式。
那么怎么证,其实还挺简单的。我们把证明分为两步骤:
1、证明gcd(a,b)是b,a%b的一个公约数
2、证明这个公约数是最大的。
1、我们设gcd(a,b)=d,再令a=k1*d,b=k2*d.
我们再设,a=k*b+c(也就是a除以b商k余c),那么c就是余数,也就是a%b.
讲上面那个式子移项,得到c=a-k*b,然后再把a=k1*d,b=k2*d,这两个式子里的a、b带入式子,得到:
c=k1*d-k*k2*d,在提取公因数d,得到c=(k1-k*k2)*d.这样就说明,c,也就是a%b有d这个约数,因为开始我们设b也有d这个约数,所以gcd(a,b)是b,a%b的一个公约数。
2、现在知道了它是一个公约数,那么怎么证它是最大的?(其实感性分析,a%b都变小了,公约数不可能更大呀!)
但是术学是一门严谨的学科,我们要严谨证明。我们知道,c(a%b)=(k1-k*k2)*d,b=k2*d,我们只需要证明k1-k*k2、k2互质就好了。
这里可以用到反证法:我们假设k1-k*k2=q*t,k2=p*t,并且t>1(也就是那两个不互质)。
我们将前面那个式子移项,得到k1=q*t+k*k2,再把这个k1代到最开始的a=k1*d,得到a=(q*t+k*k2)*d,再利用乘法分配律,得到:
a=q*t*d+k*k2*d,我们这时发现,k2*d不就是最开始的b吗?,将其带入,得到:a=q*t*d+b*d.
这时,我们再把k2=p*t代入开始的b=k2*d,得到b=p*t*d,再把这个式子代到a=q*t*d+b*d.得到了:a=q*t*d+p*t*d.提取公因数:a=(q+p)*t*d
现在,再和b=p*t*d比较,发现他们的最大公因数变成了t*d和开始矛盾,所以假设不成立,反证成功!
好吧,还是贴一下求最大公约数的代码吧
#include <iostream> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <algorithm> #define REP(i,k,n) for(int i=k;i<=n;i++) #define in(a) a=read() using namespace std; inline int read(){ int x=0,f=1; char ch=getchar(); for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-1; for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0'; return x*f; } inline int gcd(int a,int b){ if(b==0) return a; return gcd(b,a%b); } int main(){ int a,b; in(a),in(b); cout<<gcd(a,b); }