树递归问题的求解

处理树的递归问题时，遵循一个清晰的求解步骤可以帮助你更好地组织思路和编写代码。以下是基本的求解步骤，它们可以应用于大多数树的递归问题：

1. 理解问题并定义递归函数

• 理解问题的要求：首先，确保你完全理解问题的要求。明确输出是什么，以及如何通过树的结构来实现。
• 定义递归函数的功能：确定递归函数的职责。这个函数应该接收哪些参数？它应该返回什么？例如，它是计算一个值（如高度、深度），还是查找某个节点，或者是构建一个结果列表？

2. 确定递归的基准情况（Base Case）

• 基准情况的定义：基准情况是递归停止的条件。通常对于树的递归问题，基准情况是当节点为 NULL 时停止递归，并返回一个合理的值（如 0、nullptr 或 false）。
• 处理叶子节点：如果问题涉及叶子节点，明确在遇到叶子节点时该怎么处理。

3. 分解问题并递归处理子问题

• 递归调用左右子树：树的问题通常可以分解为左右子树的子问题。针对当前节点的左右子树递归调用函数，然后基于这些子问题的结果来解决更大的问题。
• 前序、中序、后序递归：决定递归调用的顺序——是先处理当前节点再递归（前序），还是在递归调用左右子树后才处理当前节点（后序），或者是在递归中间处理当前节点（中序）。

4. 合并子问题的结果

• 合并左右子树的结果：在递归处理完左右子树后，利用返回值来生成当前节点的结果。
• 返回值的计算：确定当前节点的返回值，这个值可能是左右子树返回值的一个组合，如最大值、最小值、求和等。

5. 递归返回结果

• 返回最终结果：最终的结果通常由根节点的递归调用返回。确保返回值符合问题的要求。

6. 测试和验证

• 测试边界情况：例如空树、只有一个节点的树、左右高度极不平衡的树等。
• 验证结果的正确性：通过手动模拟和调试工具来验证递归的过程和结果。

例：求二叉树的最大深度

我们通过求解二叉树的最大深度来演示如何应用这些步骤。

问题描述

给定一棵二叉树，计算它的最大深度。最大深度是从根节点到叶子节点的最长路径上的节点数。

1. 定义递归函数

• 递归函数的功能：计算以当前节点为根的子树的最大深度。
• 函数定义：int maxDepth(TreeNode* root)。

2. 确定基准情况

• 基准情况：如果 root 是 NULL，那么树的深度为 0。

3. 递归处理子问题

• 递归调用左子树和右子树：最大深度等于左子树和右子树深度中的最大值加 1（加上当前节点）。
• 后序遍历：先递归处理左右子树，然后再处理当前节点。

4. 合并结果

• 合并左右子树的深度：maxDepth = max(leftDepth, rightDepth) + 1。

5. 返回结果

• 返回根节点的深度：递归返回根节点的深度。

代码实现

class Solution {
public:
    int maxDepth(TreeNode* root) {
        // 1. 基准情况：如果当前节点为空，返回深度为 0
        if (root == nullptr) {
            return 0;
        }
        // 2. 递归处理左右子树并获取其深度
        int leftDepth = maxDepth(root->left);
        int rightDepth = maxDepth(root->right);
        // 3. 合并左右子树的结果：当前节点的深度是左右子树深度的最大值加 1
        return std::max(leftDepth, rightDepth) + 1;
    }
};

总结

• 明确递归函数的定义：清楚地定义递归函数的输入、输出以及它的功能。
• 基准情况：确保递归有一个合理的基准情况来停止递归。
• 分解与合并：将问题分解为子问题，通过递归解决子问题，然后合并子问题的结果。
• 返回结果：确保递归返回的结果符合问题的要求。
• 测试和验证：对各种情况进行测试，确保代码的正确性。

通过遵循这些步骤，你可以系统性地解决大多数树的递归问题。