数论-剩余类、完全剩余系、缩系、欧拉函数

剩余类：

∀ 0≤r≤m-1(m≥1)，Cr={x∈Z | x≡ r (mod m)}={m*q+r|q∈Z}=[r](除m余r的所有数集合)，则C0,C1,C2,...,Cm-1为模m的剩余类（共有m个）

性质1：

①∀ x∈Z, ∃ 0≤r≤m-1,x∈Cr(Cr的定义)

②x,y ∈Cj,0≤j≤m-1， 当且仅当x≡y  (mod m)

完全剩余系：

定义：a0,a1,a2,...,am-1是模m的一组完全剩余系《=》aj∈Cj, 0≤j≤m-1

非负最小完全剩余：0,1,2,...,m-1

性质2：

{a1,a2,...,am-1}是模m的一组完全剩余系，当且仅当 ∀ 1≤i<j≤m,ai ≠ aj (mod m)

性质3：

若(k,m)=1,a1,a2,...,am是模m的一组完全剩余系，则k*a1,k*a2,...,k*am-1是模m的一组完全剩余系

证明：(证明他们之间两两不同余)

∀ 1≤i<j≤m，假设 k*ai ≡ k*aj (mod m)

则 m | k*(ai-aj)

∵(m,k)=1 ∴ m | (ai-aj)

∴ai ≡ aj (mod m)

又∵ ai ≠ aj (mod m),与假设相矛盾，故假设不成立，即k*a1,k*a2,...,k*am-1之间两两不同余，是模m的一组完全剩余系

性质4：

若(m,n)=1,a1,a2,...,am和b1,b2,...,bn分别为模m和模n的完全剩余系，则{n*ai+m*bj | 1≤i≤m ,1≤j≤n}是模m*n的一组完全剩余系

证明：（证明在集合内两两不同余）

假设：n*a+m*b≡ n*α+m*β(mod m*n)

其中 a,α ∈{a1,a2,...,am}, b,β∈(b1,b2,...,bn)

故 m*n | n*(a-α)+m*(b-β)

故m | n*(a-α)+m*(b-β)

∵(m,n)=1,故m|(a-α)

即a  ≡ α (mod m)

又∵ a,α ∈{a1,...,am},，故 a ≠ α (mod m)与假设矛盾，同理可证b ≡ β (mod n)与假设矛盾

故假设不成立，即n*a+m*b ≠ n*α+m*β(mod m*n)，根据性质2，可知{n*ai+m*bj | 1≤i≤m ,1≤j≤n}是模m*n的一组完全剩余系

性质5：

若n≥3,a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn为模m的完全剩余系，则a1*b1,a2*b2,...,an*bn不为模m的一组完全剩余系

性质6：

设p为素数，则(p-1)! +1 ≡ 0 (mod p)（威尔逊定理）

（这里先举例把，证明太复杂了！！！以后补上）

若p=2,则1!+1=2≡0 (mod 2)

若p=3,则2!+1=3≡0 (mod 3)

若p=5,则4!+1=25≡0(mod 5)

若p=7,则6!+1=721≡0 (mod 7)

...（）

缩系

定义：剩余类中与m互素的剩余类集合

数学公式表示：(Z/mz)*={Cr | 0≤r≤m-1, (r,m)=1}中的元素叫做与模m互素的剩余类(这里的元素即是集合)

|(Z/mz)*| ==>m的剩余类中与m互素的剩余类集合的个数（是有限个）

欧拉函数：φ(m)=|(Z/mz)*| 或 φ(m)={r | 0≤r≤m-1,(m,r)=1}(一个r与一个剩余类（模m余r）一 一对应)

如何求一个数的欧拉函数？

例：

对于φ(1)，完全剩余系{0}，(0,1)=1,故存在一个，即φ(1)=1

对于φ(2)，完全剩余系{0,1}，(0,2)=2,(1,2)=1,故存在一个，即φ(2)=1

对于φ(3)，完全剩余系{0,1,2}，(0,3)=3,(1,3)=1,(2,3)=1,故存在两个，即φ(3)=2(这里以非负最小完全剩余系来为代表)

一个关于欧拉函数的结论：若p为素数，则φ(p)=p-1

 

性质1：设(Z/mz)*={Cr1,Cr2,...,Crφ(m)}，其中0≤r1,r2,...,rφ(m)≤m-1,a1,a2,...,aφ(m)是模m的一组缩系，则ai∈Cri, 1≤i≤φ(m)

性质2：缩系中有φ(m)个元素

性质3：若a1,a2,..,aφ(m)个与m互素的数构成模m的一组缩系，当且仅当元素两两不同余

性质4：(a,m)=1,{a1,a2,...,aφ(m)}是模m的一组缩系，则{a*a1,a*a2,...,a*aφ(m)}也构成模m的一组缩系

性质5：设m≥2,(a,m)=1,则a**(φ(m)) ≡ 1 (mod m)

证明：设r1,r2,...,rφ(m)是模m的一组缩系，则a*r1,a*r2,...,a*rφ(m)也为模m的一组缩系

　　a*r1 ≡ <a*r1> (mod m)

　　a*r2 ≡ <a*r2> (mod m)

　　.

　　.

　　.

　　a*rφ(m) ≡<a*rφ(m)> (mod m)

其中{a*r1,a*r2,...,a*rφ(m)}和{<a*r1>,<a*r2>,...,<a*rφ(m)>}都为模m的一组缩系

左边相乘，右边相乘得：

(a*r1) *(a*r2) *...*(a*rφ(m)) ≡ r1*r2*...*rφ(m) (mod m)

a**(φ(m)) *(r1*r2*...*rφ(m)) ≡ r1*r2*...*rφ(m) (mod m)

即a**(φ(m))  ≡ 1 (mod m)

性质6：设p为素数，则a**p=a (mod p)

证明：

若(a,p)=1

根据性质5可知，a**(φ(p)) ≡ 1 (mod p)

∵p为素数

∴φ(p)=p-1

∴a**(p-1) ≡ 1 (mod p)

即a**p  ≡ a (mod p)

若(a,p)≠1,p为素数，则p|a ∴a**p ≡ a (mod p)(余数为0)

性质7：m≥1,n≥1,(m,n)=1,a1,a2,...aφ(m), b1,b2,...,bφ(n)分别是模m和模n的一组缩系，则{n*ai+m*bj | 0≤i≤φ(m), 0≤j≤φ(n)}是模m*n的一组缩系

推论：若(m,n)=1,则φ(m*n)=φ(m)*φ(n)

性质8：设n的标准分解n=(p1**a1)*(p2**a2)*...*(pk**ak) (p≥2,且其中p1<p2<...<pk,都为素数)

则φ(n)=n*(1-1/p1)*...*(1-1/pk),且（元素之间两两同余)

证明：

∵((pi**a1),(pj**aj))=1

∴φ(n)=φ(p1**a1)*φ(p2**a2)*...*φ(pk**ak)

∵(x,p**a)=1,当且仅当(x,p)=1

∴集合{1,2,3,...,p**a}中与p**不互素的元素有{p,2*p,...,(p**a-1)*p},共有p**a-1个，故a互素的有(p**a-p**a-1)个

故φ(p**a)=(p**a-p**(a-1))=p**a(1-1/p)

故φ(n)=p1**a1(1-1/p1)*p2**a2(1-1/p2)*...*pk**ak(1-1/pk)

          =(p1**a1)*(p2**a2)*...*(pk**ak) *((1-1/p1)*...*(1-1/pk))

　　   =n*(1-1/p1)*...*(1-1/pk),得证